浅谈n元线性方程组的解法

重庆 高仕学

高等数学中的n元线性方程组求解的问题是学生难以解决的问题，甚至无法解决的问题，为了更好地帮助学生学习，根据笔者多年的教学经验，对n元线性方程组的解法进行探讨。

一、n元线性方程组相关定义

这里的m,n可以相等也可以不等，b1，b2，…，bm不全为零。

二、n元线性方程组解的判定

（一）齐次线性方程组解的判定

1.判定1（系数行列式）——克莱姆法则求解

当方程的个数与未知数个数相等时，如果系数行列式D≠0，则有零解（如果系数行列式D=0，则有非零解）。

2.解的判定2（矩阵的秩）——高斯消元法求解

注：齐次线性方程组一定有解

（二）非齐次线性方程组解的判定

1.解的判定1（系数行列式）——克莱姆法则求解

当方程的个数与未知数个数相等时，如果系数行列式D≠0，则方程有唯一解（如果系数行列式D=0，则方程组无解或无穷解）。

2.解的判定2（矩阵的秩）——高斯消元法求解

三、n元线性方程组的解法（高斯消元法）

（一）齐次线性方程组

步骤：1.判解 2.求解 1）唯一解 直接写出零解；2）无穷解 将阶梯形矩阵化为简化梯形阵--写出同解方程组——取自由变量——写通解解 1）判解

阶梯形矩阵

所以 R（A）=2=r n=4

故方程组有无穷解

2）求解

（二）非齐次线性方程组

步骤：1.判解 2.求解 1）唯一解 将阶梯形矩阵化为简化梯形阵而得解；2）无穷解 将阶梯形矩阵化为简化梯形阵——写出同解方程组——取自由变量——写通解

在这里，由于篇幅的限制，用克莱姆法则解n元线性方程组就不介绍了。值得注意是用逆矩阵也可解n元线性方程组。

总之，高等数学中n元线性方程组求解的问题很复杂，需要我们掌握多种求解方法，在求解时要根据题目确定具体方法，一般采用高斯消元法。只要我们多练习，而且不断总结，再复杂问题也可解决。

[1]黄江等.高等数学.重庆大学出版社，2009年8月.

[2]郑文等.高等数学.电子科技大学出版社，2010年7月.