截齿截割载荷谱重构的正则参数优化策略

刘春生，任春平，鲁士铂，万丰

(黑龙江科技大学机械工程学院，哈尔滨150022)

0 引言

截齿截割破碎煤岩是采煤机的主要工作过程，其截割过程产生的截割阻力是决定截割效率的重要参数。因此，探索煤岩截割的动态过程及截割特性，对提高截割质量及截割效益显得至关重要。由于镐型截齿具有自锐性好、强度高、拆装方便可靠等优点，目前镐型截齿大都被应用在强力滚筒上，其所消耗的功率大部分用于克服煤岩体破碎时产生的截割阻力。截齿在截割煤岩的过程中，由于煤岩体的性质不同，常常突遇夹石层及硬质包裹体，产生随机的动载荷，引起截齿较强的振动，使其极易出现破坏失效状况，导致截齿截割载荷谱不能客观真实地反映截齿截割性能。因此，为提高煤岩破碎效率，对其载荷谱特征进行表征和评估都是非常必要的。以往对截齿截割载荷谱的研究主要为建立截割载荷模型的正问题，然而反问题近年来越来越得到学者广泛的关注［1－4］。由于截割载荷谱蕴含丰富的截割信息，目前有关截齿截割载荷定量反演的分析研究还不够具体和深入。因此，笔者根据有限的实验载荷谱及结构参数和运动参数，利用Tikhonov正则化方法对其重构，进而表征和评估其特征，以此优化截齿结构设计，提高煤岩破碎效率。

1 载荷谱重构模型

截割实验载荷谱表现出无规则性、非周期性，难以单一地根据原始观察数据来作解释和直接应用，因此需要对其重构，提取截割载荷特征来表征煤岩破碎过程。

设z(t)为重构截割载荷谱，f(t)为实验截割载荷谱，根据Cadzow提出的重构算法建立下述的弗雷德霍姆(Fredholm)方程［5－7］。

因为测试得到的实验载荷谱f(t)含有一定噪声e(t)的测量值，即fδ(t)=f(t)+e(t)，t∈(a，b)。其中，fδ(t)∈L2，即fδ(t)属于Hilbert空间，且设误差函数e(t)的能量有限:

因此，与方程(1)等价的方程:

由于方程(2)属于第一类Fredholm方程，典型的不适定性问题，即方程(2)的解z(t)对于fδ(t)的微弱变化十分敏感，如果此时采用Cadzow算法将得不到稳定的解。为求解方程(2)的稳定数值解，则需要对其离散化。设采样间隔为为采样点数目tk=τk=kΔT，k=1，2，…，n，对其离散近似时采用矩形公式，得下述方程:

由方程(3)，建立实验与重构的截割载荷谱之间的关联模型:

2 Tikhonov正则化

由方程(4)可知，当ΔT达到足够小的状态，重构模型系数矩阵A趋于零，其解极不稳定，因此需要对其正则化处理。由于截齿破碎煤岩载荷谱重构具有反问题的求解特征，采用Tikhonov正则化方法，可取得较好的重构效果。对方程(4)采用Tikhonov正则化，把其解转化为求解下述问题的最小值:

式中:λ——正则参数。

整理式(5)得到

对式(6)微分，得到

整理上式，得到

对矩阵A进行奇异值分解(SVD)，得

式中:A∈Rm×n;

U——正交矩阵，U=［u1，u2，…，um］∈Rm×m;

V——正交矩阵，V=［v1，v2，…，vm］∈Rn×n;

Σ——m×n阶伪对角阵，Σ=diag{σ1，σ2，…，σn};

σi——奇异值，满足σ1≥σ2≥σ3，…，≥σn;

ui、vi——左右奇异向量。根据式(9)及其转置，得:

将式(9)、(10)带入式(8)，整理后，

由于Picard准则成立为重构模型的最佳近似解存在的充分必要条件，即重构模型的傅里叶系数趋于零的速度比矩阵A的奇异值趋于零的速度要快一些，若不满足该条件，则模型的解不存在。因此，基于该准则，给出奇异值σi和傅里叶系数|uiF|的关系，如图1所示。

图1 Picard曲线Fig.1 Curves of Picard

从图1可以看出，当矩阵A的奇异值σi的序数i＜7时，重构模型的傅里叶系数|uiF|下降的速度比奇异值σi下降速度快;当i=7～10时，两者下降的速度几乎相同;当i＞10时，奇异值迅速趋于零，而傅里叶系数在一定范围内上下波动，原因可能在于该截割载荷重构模型中实验载荷谱在测量过程中混有一定的噪声。该情况下的重构模型在一定程度属于部分满足Picard准则条件，故可以通过Tikhonov正则化方法，求解重构模型的稳定数值解。

3 正则参数的选取策略

由式(11)可知，采用Tikhonov正则化算法，求得截割载荷谱重构模型的解与正则参数λ密切相关。正则参数λ的取值，将决定着正则解的逼近程度和稳定性。当λ取较大值时，得到的数值解其范数较小，数值稳定性较好，但控制残差的范数相对较大;当λ取较小值时，控制残差的范数较小，其逼近程度高，但不能使得正则解的范数达到最小。因此，如何选取最优的正则参数，达到模型正则解既满足逼近条件，又满足其稳定条件，成为求解问题的关键。据此，笔者给出了下面两种正则参数的选取策略，从中选取最优的正则参数。

3.1 L－曲线准则

拐点处的取值是L－曲线准则选取正则参数的关键。以‖AZ－F‖为横坐标，以‖Z‖为纵坐标，获得(‖AZ－F‖，‖Z‖)一系列的坐标点的数值，经过曲线拟合，得到一条近似趋于字母L型的曲线，则拐点处对应的点即为正则参数值。其中，‖AZ－F‖和‖Z‖都是正则参数λ的函数。根据实验载荷谱参数及L－曲线准则，给出了相应的L－曲线图，见图2。曲线的拐点比较明显，且曲线形状类似L型，满足L－曲线准则，但曲线的收敛性不好，拐点处对应的正则参数λ=0.10。

图2 L－曲线准则Fig.2 Criterion of L－curve

3.2 广义交叉法(GCV)

广义交叉法由于在求解正则参数时具有计算简单、效率高的优点，近年来被学者越来越关注。根据载荷谱重构模型，基于Golub提出的广义交叉法，给出该方法的应用公式，即正则参数λ应满足下列等式:

式中:A(λ)——系数矩阵，A(λ)=A(ATA+λ2I)－1AT;

tr A——矩阵A的迹。

根据式(12)及实验载荷谱参量，给出了GCV曲线，如图3所示。

图3表明，当0≤λ≤0.09时，GCV(λ)的值逐渐下降;当0.09＜λ≤1时，GCV(λ)的值逐渐上升;当λ=0.09时，GCV(λ)取得最小值。所以，采用广义交叉准则得到的正则参数λ=0.09。

图3 GCV法Fig.3 Method of GCV

4 载荷谱重构与分析

利用实验测试的40°楔入角、截割阻抗为220 kN/m、切削厚度为0.03 m等参数，得到了截割载荷谱曲线［8－9］。根据两种正则参数选取策略，进行载荷谱重构。L－曲线准则对应的正则参数λ=0.10，广义交叉准则(GCV)对应的正则参数λ=0.09。重构效果如图4所示。

图4 重构效果Fig.4 Reconstruction results

从图4可以看出，重构载荷谱与实验载荷谱总体趋势相吻合，能够反映截齿破碎煤岩的总体过程，且应用Tikhonov方法能够滤去载荷谱的高频成分，有用的低频载荷谱特征易于辨识和提取。为深入探究L－曲线准则和广义交叉准则(GCV)选取的正则参数对重构载荷谱的影响程度，确定正则参数选取的优化策略，提取重构载荷谱的特征参量，给出两种策略下的重构载荷谱特征参量关系，见表1。

表1表明:应用广义交叉准则(GCV)和L－曲线准则选取正则参数重构的载荷谱，其特征参量基本与实验参量值接近，揭示两种正则参数选取策略均能得到合理的正则参数。虽然与测试误差相比较小，但相对两者比较，广义交叉准则(GCV)比L－曲线准则重构的载荷谱更接近实验值。因此，在应用Tikhonov正则化重构截割载荷谱，广义交叉准则(GCV)优于L－曲线准则。

5 结论

(1)根据有限的截齿实验载荷谱及其结构和运动参数，确定载荷谱的重构算法和其波形特征，应用Tikhonov正则化方法，建立截割载荷重构模型，给出实验载荷谱与重构载荷谱的内在关联。重构载荷谱的趋势总体与实验相符合。Tikhonov方法能够滤去载荷谱的高频成分，有用的低频载荷谱特征易于辨识和提取，同时两种正则参数选取策略对载荷谱重构效果有一定的影响。

(2)通过提取重构载荷谱的特征参量，给出选取正则参数策略上，广义交叉法(GCV)优于L－曲线准则，其重构载荷谱特征易于识别和提取，且能够反映煤岩实际破碎状态。该方法能够为镐型截齿破碎煤岩载荷谱特征的识别及提取提供有效的方法。

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表1 载荷谱特征值Table 1 Eigenvalues of load spectrum

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