多形状参数的指数均匀B样条曲线曲面

张 莉， 刘静静， 檀结庆,

（1. 合肥工业大学数学学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学计算机学院，安徽 合肥 230009）

多形状参数的指数均匀B样条曲线曲面

张 莉1， 刘静静1， 檀结庆1,2

（1. 合肥工业大学数学学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学计算机学院，安徽 合肥 230009）

论文构造了一类带多个形状参数的指数均匀 B样条曲线曲面，它保持了指数均匀B样条曲线曲面的主要性质（如连续性、凸包性等）。此类曲线在不改变控制顶点的情况下，通过改变其形状参数的取值，可以生成多条逼近于控制多边形的曲线，进而实现对曲线的整体或局部调控。此外，它还可以精确表示双曲线、悬链线等超越曲线。此类曲面是通过张量积的方法生成的，所以具有与曲线类似的性质。论文结尾给出了大量数值实例。

均匀B样条；调配函数；指数多项式；形状参数

均匀 B样条曲线曲面是计算机辅助几何设计(CAGD)中一个经典的造型工具，它具有许多优良的性质，在实际的工程中也得到了广泛的应用。然而，均匀B样条曲线曲面也存在不足，如给定控制顶点后，B样条曲线曲面是唯一的，如果要调整曲线曲面的形状和位置，必须改变曲线曲面的控制顶点。为了克服上述不足，Barsky[12]提出了三次样条曲线，它具有凸包性、局部性、变差缩减性等B样条的若干优良性质，并且有2个可调形状参数，达到 G2连续；吴晓勤[3]提出了带形状参数的Bézier曲线，具有形状可调性。张纪文[4]提出了C-B样条曲线，它可以精确表示圆和椭圆，但是，它们都不能精确表示双曲线；王文涛[5-7]等分别提出了带单形状参数的均匀B样条、三角均匀B样条、双曲均匀B样条；赵颜利[8]等提出了单形状参数的指数均匀B样条。这些样条曲线曲面除了具有不带参数时的性能外，还可以对曲线曲面进行整体调整。为了进一步实现曲线曲面的局部调控，曹娟等[9]给出了带形状参数的均匀B样条的结构；韩旭里[10]提出了带形状参数的三次非均匀样条，扩展了形状参数曲线曲面的应用；尹池江[11]、刘旭敏[12]、张莉[13]分别提出了带多个参数的三角均匀B样条、双曲B样条和均匀B样条，它们除了具备不带参数时的性能外，还可以对曲线曲面进行整体和局部调控。

本文通过积分的方法引入多个形状参数，构造了一类n次带多形状参数的指数均匀B样条曲线曲面，通过改变形状参数的取值来调整曲线（曲面）不同部分靠近控制多边形（控制网格）的程度，进而实现整体或局部调控。文章构造的曲线不仅概括了文献[8]的情形，而且可以精确表示双曲线等重要曲线。此外，形状参数的取值范围随着曲线阶数的增大而增大。数值实验表明：文章构造的曲线比已有的样条曲线更能靠近控制多边形。通过大量图例证实，文章构造的曲线曲面在几何造型和动画设计中具有一定的实际应用价值。

1 基函数的构造及其性质

1.1 基函数的构造

称式(1)为带形状参数α的一次（二阶）指数多项式均匀 B样条的调配函数（简称调配函数）[8]。

设 α1, α2∈ R ， t∈ [0,1]，分段积分有

定义1 称式（2）为带2个形状参数 α1, α2的二次（三阶）指数多项式均匀B样条调配函数。

当 k≥ 3时，依次定义 k次（ k+1阶）带 k个形状参数 αi( i = 1,2,… ,k)的指数多项式均匀 B样条调配函数如下：

并分别平移 i- k, i - k + 1,… ,i - 1,i 个单位，则有

由式（4）可以看出样条函数的每一段（除去第1段和最后1段）都有2个形状参数。我们用 η, β代表这两类形状参数，其中η代表，β代表。为了使(t ;η, β) 非负，不妨取η, β ∈ [-1,1]。事实上，形状参数η , β的范围随着阶数的增加而增大。

图1给出了三次（四阶）带多形状参数指数多项式均匀B样条基函数的图形，图1(a)是2个形状参数相等情形，即文献[8]的情况。图中的形状参数分别为η = β = 3,1,-1 0,-20，其中前2条基函数曲线图为单峰，后两条基函数曲线图为双峰。图1(b)是2个形状参数不同的情形，其中中间偏高的曲线段的参数为η = β =3，偏左边的曲线段的参数为η =-1 5,β =3，偏右边的曲线段的参数为η = 3， β=-1 5。可以观察出：当参数相等时（就是单参数的情形），基函数对称，当参数不等时，基函数图形就不再对称，2个参数既可以上下调节曲线的形状，又可以左右调节曲线形状，正是由于左右调节后的不对称性，才可以局部调控曲线。

图1 三次（四阶）带形状参数的指数多项式均匀B样条基

1.2 基函数的性质

将上面 2式分别在[x, 1]与[0,x]上积分，然后相加整理可得：所以， k = n+ 1时，，由归纳法原理可知结论成立。

表1 参数变化范围

如图2所示，带形状参数的三次指数曲线，带形状参数的一般均匀 B样条和三角多项式均匀B样条与其控制多边形距离大小的比较。图2中曲线1是指数均匀B样条的情形，曲线2是三角多项式均匀B样条情形，曲线3是一般均匀B样条的情形。可以看出当3种B样条的参数都取参数最大时，指数均匀B样条曲线可以比均匀B样条和三角B样条曲线更接近于控制多边形。

图2 不同基生成曲线的比较

2 多形状参数指数多项式均匀B样条曲线曲面

与标准均匀B样条曲线曲面类似，带多形状参数指数多项式均匀 B样条基函数也可以构造出相应的曲线曲面。为了方便表达，我们设形状参数 αi∈[-1 ,1],(i = 1,2,… ,n)。

定义 3 给定空间 R2或 R3中控制顶点P0, P1,… ,Pn( n ≥ 2)，及形状参数，不妨令αi∈[-1 ,1],(i = 1,2,… ,n)，构造曲线段

(0 ≤ t ≤ 1,i = 0,1,… ,n -k )。 然后将它们平移后复合所得曲线为：

称式（6）为 k次带多形状参数的指数多项式均匀B样条曲线的表达式，其中是（3）式定义的基函数。

此类曲线的性质：

性 质 1 （凸包性质）由式(6)定义的曲线p( t) 在 区 间 [i, i +1 ]内 的 一 段 曲 线pk( t)(i ≤ t ≤ i+1,i = 0,1,… ,n -k)恒位于由k+ 1个控制顶点的凸包之内，整条曲线恒位于这些凸包的并集之内。

性 质2 （几何不变性质）由式(6)定义的曲线形状不因坐标系的选取而改变。

性 质 3 （局部支承性质）当曲线的一个控制顶点改动时，曲线 p( t)仅有 k+1个子段曲线的形状发生改变，其余部分不变。而当其中某1个形状参数改变时，仅影响到与之相关的k个子曲线段。

性 质4 （连续性质和求导公式）含多形状参数的 k次指数多项式均匀 B 样条曲线，且有

定 义 4 给定空间 R3中的(m + 1)× (n +1)个点，张量积多形状参数的指数多项式均匀B样条曲面可如下定义：

张量积曲面保持了曲线的主要性质：凸包性、几何不变性、局部支承性等。曲面的导数公式为：

其中：

3 形状参数对曲线曲面的调控

3.1 形状参数对曲线的调控

我们可以根据表1选取形状参数。图3(a)是当形状参数 α1= α2= α3= α的情况，即单参数时的图形。曲线1，2，3所对应的形状参数分别取α= 3,1,- 10。此时，形状参数对曲线仅有整体调控作用。图3(b-d)所示的曲线为形状参数互不相等的情形。图3(b)中的曲线段1，2，3，4的形状参数分别为 αi= {3,3,3}， αi= {- 10,- 10,3}，αi= {3,- 10,- 10}， αi={- 10,- 10,- 10}。可以观察到，曲线段4的某一端形状参数 α1或 α3增大时，曲线段将逼近控制点 P1或 P2；图3(c)中的曲线段1, 2, 3的形状参数分别为 αi= {3,3,3}，αi={-1 0,3,-1 0}， αi={- 10,- 10,- 10}，曲线3中间形状参数 α2增大时，曲线段两端将同时向两侧扩张；图3(d)中的曲线段1，2，3，4的形状参数分 别 为 αi= {3,3,3}， αi= { -10,3,3}，αi= {3,3,- 10}， αi={- 10,- 10,- 10}，曲线段4的某一端相邻的2个形状参数 α1, α2或 α2,α3同时增大时，曲线段将逼近相应一侧的控制顶点，另一侧则向外扩张。

3.2 形状参数对曲面的调控

由式（7）知，曲面是曲线张量积生成的，所以曲面也可作相应调控，下面以双二次带多形状参数的指数B样条曲面为例，简单说明曲面的调控。图 4控制网格不变时，改变参数{α1,α2,β1, β2}的值得到不同的双二次多形状参数的指数均匀B样条曲面片，我们可以既整体又局部地对曲面片进行调控。

图3 带3个形状参数的三次指数多项式均匀B样条曲线段

图4 双二次多形状参数指数多项式均匀B样条曲面片

3.3 形状参数的几何意义

由式（4）及形状参数对曲线曲面的调控效果，我们不难得出形状参数的几何意义。关于全局形状参数，增大形状参数会使曲线（曲面）更加靠近控制顶点（控制网格），反之远离。关于调整局部形状参数，对于曲面的形状参数iα增大时，曲线会逼近于与第i个控制顶点iP相连接的控制多边形，反之远离。对于曲面，形状参数iα增大时，曲面片逼近于与相连的控制网格，反之远离。

4 曲线的应用

定理1 给定平面上不共线的3点 P2( x2, y2), P1( x1, y1),P0( x0, y0)，令形状参数 α1= α2= 0或α1= α2=-1，则三阶带多形状参数的指数均匀B样条曲线为双曲线的一部分。

证 明 ： 当 α1= α2= 0时 取 控 制 顶 点

得

图5 双曲线

5 图形实例

下面是2种参数模型的比较。图6(a)和图6(b)是开曲线花瓣模型。图 6(a)中曲线的参数αi= 3,0,- 3,- 10,-2 0，图 6(b)中曲线参数α1= 2,αi=-1 0（, i ≠1），α3=-5 ,αi=-1 0（, i≠3）和αi= 3。图 6(c)和图 6(d)为四叶草模型，是闭曲线模型。图6(c)的参数为 αi= 3,0,-3 ,-1 0,-2 0。图6(d)的参数为 α3=-2 0, αi= 3（, i≠4）。通过图形实例可以看出：对图形进行单参数调控时，无论参数取何值，都不能覆盖住多参数时的图形。反之，多参数调控时，只要取相同参数便可得到单参数的图形。故多参数的引入使曲线形状更丰富，多参数还可应用于动画设计，得到更加丰富多样的造型。

图6 单参数模型和多参数模型的比较

图7所示为带多形状参数的指数多项式均匀B样条曲线构造的花瓶模型。 图7(a)中花瓶所对应的形状参数取 αi= 3(i = 1,2,…6 )。图7(b)中花瓶的形状参数取 αi= 3(i = 1,2,4,5,6)，α3=-1 0，此时花瓶只有一部分发生改变。图7(c)中花瓶的形状参数取 αi= 3(i = 1,2,5,6)， α3=-1 0,α4=- 20，此时花瓶相邻的两部分发生改变。图7(d)中花瓶的形状参数取 αi= 3(i = 1,2,4,5)， α3=- 10，α6=- 20此时曲线发生改变的部分互不相交。显然，多形状参数实现了局部调控曲线，得到了更多样的曲面造型。

图7 花瓶模型

6 结 束 语

文章采用分段积分的方法，构造了多形状参数指数多项式均匀 B样条基函数和多形状参数的指数均匀B样条曲线曲面。一方面，它扩展了指数多项式均匀 B样条基函数的形式；另一方面，在保持原有性质的基础上，实现了对曲线曲面的整体与局部调控。当然，文章构造的曲线还存在要改进的地方，例如，与文献[13]的曲线相比较，文献[13]的代数多项式被指数多项式所替代，这样，现有的一些比较成熟的算法（如de Boor算法）就不能使用了。但是，本文提出的曲线也有自己的优点：同文献[11]和文献[13]相比，参数范围更广，可以更接近或远离控制多边形。又由于指数均匀B样条是定义在 Ωk上，且 Ωk对积分运算是封闭的，即对任意的 Nt∈Ωk有 ∫Ntdt=1，为相关的积分运算带来方便。此外，文章中的曲线可以精确表示双曲线、旋链线等超越曲线。通过最后的图形实例可以看出，由于曲线形状随着参数的改变而改变，可将其用于曲线曲面造型和动画设计。尺有所短，寸有所长，现有的曲线曲面都有着各自的优缺点，只能通过取长补短来弥补各自的不足。我们的目标是在以后的工作中构造出更多具有优良性质的曲线曲面。

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Exponential Uniform B-Spline Curves and Surfaces with Multiple Shape Parameters

Zhang Li1, Liu Jingjing1, Tan Jieqing1,2
( 1. College of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. College of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

A class of exponential uniform B-spline curves and surfaces with multiple shape parameters is provided. They preserve the main properties of the exponential uniform B-spline curves and surfaces, such as positive property, convexity-preserving property and so on. The curves can be adjusted by changing the values of shape parameters without moving their control points. So we can realize the entire or local adjustment of the curves. What’s more, the exponential uniform B-spline curves can represent hyperbola, catenary and other transcendental curves precisely. The corresponding surfaces can be constructed by using tensor product, so their properties are similar to that of the curves. Plenty of numerical tests are given to show the effectiveness of our method.

uniform B-spline; Blending function; exponential polynomial; shape parameters

TP 391.72

A

2095-302X (2013)03-0029-07

2012-07-15；定稿日期：2012-11-01

国家自然科学基金资助项目（U1135003,61100126）；教育部博士点基金资助项目（20100111120023, 20110111120026）；安徽省自然科学基金资助项目（11040606Q42）；安徽省高等学校省级优秀青年人才基金资助项目（2011SQRL184）

张 莉（1976-），女，安徽合肥人，副教授，博士，主要研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：hgdzli@126.com