关于两类半离散含对数非齐次核逆向的Hilbert型不等式

杨必成



关于两类半离散含对数非齐次核逆向的Hilbert型不等式

杨必成

(广东第二师范学院数学系，广东，广州 510303)

应用权系数的方法、复分析技巧及参量化思想,建立两类具有最佳常数因子的、半离散含对数非齐次核逆向的Hilbert型不等式及其等价式。

权系数；参数；Hilbert型不等式；等价式；逆式

0 引言

这里，常数因子4仍为最佳值。式(2)称Hilbert型积分不等式。以上两个-1齐次核不等式与Hilbert不等式一样，是分析学的重要不等式[1-2]，它们有不少推广应用[3-6]。近年，有关半离散Hilbert型不等式的研究渐趋热潮。关于半离散、齐次核Hilbert型不等式，可参阅文[7-11]；关于半离散、非齐次核的Hilbert型不等式，其结果及方法可参阅文[1](定理351)及文[12-15]；关于半离散逆向的Hilbert型不等式，则可参阅文[16-18]。其方法特点是综合应用了离散与积分两类不等式的思想技巧。最近文[19]建立了半离散含对数齐次核逆向的Hilbert型不等式。

1 引理

(N为正整数集)。则有如下不等式:

这里，

即有式(6)。证毕。

(8)

2 主要结果

则有如下等价不等式：

(12)

再由式(12)，有式(11)。反之，设式(11)成立。取

则由式(11)，有

故式(12)成立，且它与式(11)等价。

代入式(13)，式(11)成立。反之，设式(11)成立。取

故式(13)成立，且它与式(11)等价。故式(11)，式(12)与式(13)齐等价。

另一方面，有

式(12)、(式(13))的常数因子必为最佳值。不然，由式(14)、(式(16))，必将导出式(11)的常数因子也不为最佳值的矛盾。证毕。

证明 类似于定理1的方法，可证明式(20)，式(21)与式(22)成立且等价。下面只证式(20)的常数因子为最佳值。则由此结论及等价性，易证式(21)，式(22)的常数因子亦为最佳值。

(24)

再由L控制收敛定理，有

结合式(23)与式(24)，有

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ON TWO CLASSES OF REVERSE HALF-DISCRETE HILBERT-TYPE INEQUALITIES WITH THE NON-HOMOGENEOUS KERNEL OF LOGARITHM

YANG Bi-cheng

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong 510303, China)

Based on the way of weight coefficients, the technique of complex analysis and the idea of introducing parameters, two classes of reverse half-discrete Hilbert-type inequalities as well as the equivalent forms with the non-homogeneous kernel of logarithm and a best constant factor are given.

weight coefficient; parameter; Hilbert-type inequality; equivalent form; reverse

1674-8085(2013)02-0001-06

O178

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.001

2012-11-21；

2013-01-28

2012年广东省高等院校学科建设专项资金项目(2012KJCX0079)

杨必成(1947-)，男，广东汕尾人，教授，主要从事算子理论与不等式研究(E-mail: bcyang@gdei.edu.cn).