新建本科院校线性代数课程教学和教材建设问题的探讨

袁秉成

(广东培正学院 人文基础教学部，广东 广州510830)

多数大学生学习线性代数都会感到举步艰难，究其原因，一方面与所学的知识选取有关，同时也与教学的组织形式和教学方法有关．

1 关于线性代数教学内容的选择

线性代数教学通常讲授的内容是：行列式，矩阵，线性方程组，特征值和特征向量，二次型．我们现在所能接触到的线性代数教材更多是考虑体系的完美，知识的宽度和深度，而且又都与考研挂勾，这样必然会增加教材的难度．笔者认为有些内容是不必在新建本科院校学生的课堂上讲授的，例如在教材中我们看到的下面几个定理：

①向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A:a1，a2，…，am线性表出的充分必要条件是矩阵A=(a1，a2，…，am)的秩等于矩阵(A，B)=(a1，a2，…，am，b1，b2，…，bl)的秩．②向量组b1，b2，…，bl能由向量组a1，a2，…，am线性表出，则R(b1，b2，…，bl)≤R(a1，a2，…，am)．③对于矩阵As×m，Bs×n，有下面的不等式关系：max{R(A)，R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B)．④R(A+B)≤R(A)+R(B)．⑤若Am×nBn×l=0，则R(A)+R(B)≤n．

上面的内容对于大多数本科院校，尤其是新建本科院校的学生来说是难的，可以将其当作课下习题，提供给基础好的学生思考完成．

我们都知道，矩阵的初等变换和行最简形矩阵是非常重要的，教学中要早些给出有关结果，教师在讲授线性代数课程时，要由始到终不断体现和强化初等变换的思想.

为了突出矩阵的初等变换，可将内容按如下顺序依次讲授．

(1)初等变换和初等矩阵：给出初等变换，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，最后再介绍初等矩阵以及它与初等变换的关系，介绍完用初等变换求逆矩阵的方法之后，马上对这一方法的理论进行证明，如果按照这样的顺序进行教学，将可以有效避免像教材[2]中在没有介绍初等矩阵，就给出利用初等变换求逆矩阵的方法，在下一章才给出用初等变换求逆阵的方法的理论证明，这种安排把知识前后隔裂开，有些杂乱.

(2)矩阵的逆：先给出利用伴随矩阵求逆矩阵后，马上介绍用初等变换求逆矩阵的方法并对它的原理进行论证．

(3)关于矩阵A的秩：介绍初等变换不改变A的秩，给出用初等变换求A的秩的实例．

(4)关于向量间的线性关系：介绍用初等变换的方法解决向量间的线性组合，线性表出和线性相关性的问题．

(5)关于向量组的最大无关组：介绍如何用初等变换的方法求最大无关组．

在进行矩阵秩的课堂教学时，一定要注重阐述如何利用阶梯形矩阵和行最简形矩阵求矩阵的秩，课堂上要多给学生自已练习的机会，将这一方法掌握娴熟是有好处的.

(6)对矩阵的行施行初等行变换不改变列向量间的线性关系，这个定理至关重要，但现行教材却都将其放到向量的线性相关性后面讲授，有的将其放到这一章的后面做为习题，笔者的意见是在讲完向量的线性组合后马上介绍这个定理，同时对该定理进行证明.用此定理处理向量间的线性组合，线性表出，线性相关性和最大无关组问题时是简单的，学生容易接受．

关于向量间的线性无关的定义，传统教材的精典定义是这样给出的：对于向量a1，a2，…，at，如果有不全为零的常数k1，k2，…，kt使k1a1+k2a2+…+ktat=0成立，则称a1，a2，…，at是线性相关的，若不然就是线性无关的.也有的教材给出了另外一种定义，即：用一组向量表出零向量，如果至少有两种不同的表出方法，则称这组向量是线性相关的，如果只有一种表出方法，就称这组向量是线性无关的.第一种定义比较抽象，经验告诉我们，许多学生利用这个定义处理问题时，容易发生如下的类似错误：例如：向量组，α1=(1，2，0)，α2=(0，2，3)，α3=(1，4，3)．因为0α1+0α2+0α3=0，所以α1，α2，α3线性无关．但如果学生知道利用后面给出的定义去考虑问题，就不会发生这样的错误．笔者认为在讲授这部分内容时两种定义都要介绍.

2 关于线性代数教学组织形式及教学方法

随着高校不断扩招，生源来自不同地域，加之知识基础的差异，尤其是他们的学习目标和兴趣日趋多样化，这势必造成学生对数学内容和数学水平要求的多极化．

传统教学使用统一的教材，讲授一样的内容，学生根本没有自己选择的空间，从而压抑了学生的个性，束缚了学生特长的发展．当前被普遍公认的好的解决办法是对学生进行分层次教学，因为只有分层次教学才可以更好的进行因材施教，才能收到较好的效果．因材施教不仅体现在教学手段和方法上，更要体现在为了适应学生个性化发展的需求而为他们提供的不同教学内容上，教师要根据每个学生所具有的不同于别人的自身条件，兴趣和发展方向为他们选择更适合于他们自我发展的教学内容，给他们创造更好的自我发展空间．

分层次教学是将学生分成A，B两个班．对A班的学生知识功底要求较高．这样就要注重基础理论知识和相关数学思想方法的传授，课堂教学容量要大，所讲的内容要广，要为准备考研的学生创造条件，而B班比较适合基础知识比较薄弱的中等及以下学生，对他们进行教学时要尽量淡化理论知识的传授，而将更多的注意力转向数学方法和定理的应用上，课堂教学上教师要注意安排好讲授与练习的时间，要给学生充分练习的机会，使学生在练习中加深对基本概念的理解，熟悉做题技巧．新建本科院校与一般本科院校的学生相比，知识基础较差．经管类的很多学生往往不愿意学数学，这样就要求教师课堂教学时，所讲的内容不宜过多，特别注意不能填鸭式地一味满堂灌，必须要留有充足的时间让学生自已动手演练习题，而且演练的时间不得少于总课时的四分之一．只有这样学生才能发现原来似懂非懂、甚至根本就搞不清楚的问题．

3 新建本科院校线性代数课程的教材建设

现在的教材致力于完整的理论体系，较宽的知识面，内容又有一定的深度，适合考研的要求，新建本科院校学生的基础差，教师在使用这些教材教学时，只能删难就简，这样一来就使得原本连续完整的知识内容变得支离破碎，给学生学习带来了极大困难，新建本科院校必须要有适合自己的浅显易懂且理论能与实践相结合的教材．笔者认为要写一部好的教材，首先要处理好以下几个问题：

(1)线性代数的理论如何与实际应用相结合的问题．教材要理论联系实际，已经引起了各界的关注，只有让学生知道所学的知识是有用的，并且知道用在哪，怎么用，才能激发学生的学习积极性.其实现在的绝大多数教材也都朝着这个方向努力，但他们在教材中所配备的实际应用题都过于复杂，学生如果不消耗较多时间，很难将其实际背景搞清楚，像这样的实际应用题根本不适合在课堂上向学生传授．我们现在要从社会实践中总结、提练出一些能在20分内讲清楚的，有实用价值的好的例子.

(2)处理好线性代数教材与考研的关系.考研是当今社会的热点，但新建本科院校的学生基础差，有考研意愿的学生是少数的，我们的教育要面向大多数学生，我们有义务要让大多数学生在学习上看到希望，有奔头，教材一定要适应大多数学生的需要，要通俗易懂.对少数有考研意愿的学生可选择难度较大的教材，分班进行教学.

(3)在教材的结构体系上要突出矩阵和矩阵的初等变换．由于矩阵和矩阵初等变换的相关知识内容，不但直观同时又容易接受，所以要以该内容为主线，贯穿于整个教材．

尽管矩阵秩的内容中有些结论比较重要，可是我们注意到有些内容是抽象难懂的，因此笔者建议只给出如下结果(其他结果可选一些作为习题供基础好的学生选作)：①对矩阵施行初等变换不改变它的秩．②矩阵A的秩为r的充要条件是A的行阶梯形矩阵恰有r个非零行．③设矩阵A=BC，则R(A)≤R(B)，R(A)≤R(C)．

(4)关于线性空间的概念．许多线性代数教材对线性空间的定义并末提及，只是给出了特殊向量空间的概念，而只有个别教材给出了它的定义，由于线性空间的基底可以看成是坐标系的推广，有了坐标系，相似矩阵的标准形和二次形的标准形自然变得容易接受，笔者认为线性代数教材中介绍一下线性空间是有益的.也可以将它做为附录放到教材后面供参考．传统线性空间的定义是以数乘和向量的加法两种运算和8条算律给出的，然而多数教师常将这8条错误的看成是各自独立的，却不知道这8条交换律中的任一条可以由其它7条推出，建议在附录中要把7条定义的线性空间收进去．

参考文献：

[1]袁秉成.高等代数[M].长春:东北师范大学出版社，1992.

[2]同济大学数学系.线性代数及其应用[M].北京:高等教育出版社，2008.

[3]陈维新.线性代数[M].北京:科学出版社，2007.