浅谈导数概念的教学策略*

王雅萍

(江苏商贸职业学院 基础部，江苏 南通 226001)

导数是微分学中的一个基本概念，在整个数学知识体系中起到承上启下的作用，也是高职数学教学中的重难点，学生能否牢固掌握导数概念直接影响到后续内容的学习．文章结合教学实践谈谈关于导数概念引入的几点见解．

1 现有导数概念引入分析

现在的高等数学教材中,大多是以质点变速直线运动的瞬时速度和电流强度的例子来引入导数概念,这种导入方法有利有弊，对于中学物理基础知识扎实的学生来说，自然容易理解；而对于基础薄弱的那部分学生,接受起来难上加难．对于基础相对薄弱的高职生来说，导数概念内容抽象、符号多、公式复杂，其定义的方法不熟悉,加之前期极限概念没有很好地掌握，导致开始接触导数定义就难以接受和理解，从而完全对其失去兴趣，不能很好的参与到教学中来，这样的教学结果一定是失败的．因此，我们在教学过程中一定要重视教学伊始的导入环节．

2 导数概念引入的方法

2.1 通过结合专业问题过渡到导数概念

新课改的指导思想是通过学习，学生能将数学概念与实际概念相融合，并将数学概念与专业中的相关概念对接，能在实际问题情景中合理利用数学知识解决问题．而在实际教学中，数学教学与专业学习相脱节，学生所学的数学知识不知道如何在专业中运用．因此在引入导数概念的时候，应当以学生的实际学习水平和专业情况为依据，尽量运用专业课中的导数原型例子，加强对实际问题的分析，根据每个学生实际的专业特征来进行有针对性的准备，从而深化学生对导数的认识．如果不考虑学生的专业需求，强制学生学习的话，必然会抹杀学生对数学的求知欲．学生的专业需求不一样就会提出自己对学习的不同要求，这样才能使每个学生在学习的时候由被动转变成主动、自愿．

在实际教学中，我们发现在结合专业讲具体案例时，学生的兴趣浓厚，学习积极性较高．比如：汽车制造类，机械设计制造类专业的学生物理知识比较扎实，对速度这个概念相对比较敏感，这部分学生就适合用变速运动的瞬时速度例子引入导数概念．并详细讲解加速度与速度的关系．如果是电力技术类的学生就比较适合用电流强度的例子引入导数概念，这和他们的专业息息相关．如果是制图类专业的学生就适合用导数的几何意义——切线的斜率来引入．求曲线切线斜率是导数概念的几何背景, 借助图形对于有一定空间思维的学生来说, 都能很直观的得出曲线的切线即可看作割线向其极限位置逼近, 从图形上形成更直观的感受，从而突出概念的本质．强调几何直观．对于财政金融类，经济贸易类的学生则可以从边际成本等经济学方面的问题来导入概念，如弹性函数，边际成本等问题．对于化工专业的学生，可以用化学反应浓度变化率的问题来引入概念．

2.2 通过实际问题的建模过程过渡到导数概念

为了引入导数概念，在教学中可以先引入以下一个数学模型．

题目为：一个受污染的湖泊，为了使湖水能在一定时间内恢复到指定的洁净程度，要对排入该湖的河水进行治理，问排入的河水的污染物浓度要控制在什么范围．

(1)问题的简化：一个容积为C的容器，内有浓度为a%的溶液，该容器有一个进水口和一个出水口，现以D单位每小时的速度注入浓度为b% 的溶液，同时容器内溶液以同样速度流出，问容器内的溶液浓度的变化率．

(2)模型的建立：首先考虑流入容器的水为清水的情况，并假定容器内的溶液浓度始终是均匀的，那么流出的溶液浓度就是容器内溶液的浓度．在这样的假设条件下，容器内的溶液浓度变化全部是由溶质的流失引起，因此得到公式：浓度变化率=溶质变化量/(溶液总量×变化时间)．

(3)模型的优化：如果考虑到流入容器的水不是清水，则只需要将溶质变化量改为流入溶质减去流出溶质即可．

但在上面的讨论中，有一个问题被忽略掉了，那就是浓度，要知道它不是固定不变的，而是随时间的变化而变化的．这时可以引导学生思考，若取时间为一小时，浓度变化显然太大，如果考虑在一分钟内浓度的变化显然不会太大，因而将浓度看作常数来计算而带来的误差也不会太大，可是一分钟内溶液浓度还是有变化的，要得到更加精确的结果就要把时间进一步缩短，如1s、0.1s、……，那么所得的结果就会越来越精确．这时让学生考虑，如果要得到精确结果应该怎么办？这时学生自然会想到应该把时间无限缩短，即取时间趋于零的极限情况．

通过这样一个实际的建模过程由学生亲自参与，并结合其他例子，抓住他们的共性，就可以引出导数概念．这样引入概念，学生有兴趣、有成就感，理解更透彻，掌握更牢固．

2.3 通过结合数学史的相关故事过渡到导数概念

数学史导入法即是利用数学家的传记或数学发展史导入新课的方法．这种方法可以使得课堂教学不枯燥乏味，有血有肉．同时还能通过榜样的力量去感染学生，调动他们的学习积极性，唤起他们的探索热情．因此，教师在对导数概念进行教学时，可以适当提及相关数学家提出的导数概念说法。比如：1750年达朗贝尔在为法国科学院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示．1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数．19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就变成了今天常见的形式．

传统的导数教学只是按“公理、定义、定理、证明”四部曲，按部就班地呈现．但是，对于概念的形成，公式、定理的发现，乃至理论的创造与生长过程，这些更有趣的部分，几乎不谈．换言之，将完整的探索过程去头砍尾，即去掉人文与历史土壤，再砍掉品味与欣赏，结果造成数学的无趣与面目可憎，迫使学生走上痛苦之路．

另外，在实际教学中，课前教师可以布置一些任务让学生准备．例如让学生搜集相关数学文化背景，导数产生和发展的历史，一些相关数学家的资料，从而渗透数学文化教育，避免学生对数学的抵触情绪．上课时可以让学生分组交流，认真体会一个新知识的发现并不是脱离实际的，也不是数学家凭空想象出来的，而是起源于各种生活中的相关问题，从而培养学生发现问题解决问题的意识，激发学生主动学习的积极性．通过深刻挖掘数学知识背后的人文因素、审美因素和育人价值，使得学生通过学习，不仅达到知识体系的完善和数学思维的培养，而且还会感受到数学的美和学习数学的乐趣，感悟数学蕴含的丰富思想．

3 小结

高职院校导数概念的课堂教学需要教师认真思考，精心设计，务必要注重高职生的年龄心理状况和数学教材的编写特点，一切从实际出发，注重趣味性和启发性，融合科学性与艺术性，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使学生的思维活动和教师的讲解交融在一起，产生共鸣，在热烈的气氛中开展教学活动，从而取得良好的教学效果．

参考文献：

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