数学建模思想融入线性代数教学的研究*

唐 帅，郝祥辉

(济源职业技术学院 基础部，河南 济源 459000)

随着计算机技术的高速发展，线性代数解决问题的思想和方法已经渗透到自然科学和现代工程技术的各个领域．这就对线性代数教学提出了新的要求．高职教育是以“重能力、重应用、求创新”为指导思想．因此高职线性代数的教学也应以培养学生的应用数学能力和创新能力为首要目标．如何有效实现这个目标，是我们一直思考和探索的重点．大学生数学建模竞赛为我们提供了很好的切入点．数学建模的具体过程，能有效培养学生应用数学能力和创新能力．为此，本文结合高职院校的实际情况以及教学实践经验，提出了将数学建模思想融入线性代数教学中，给出一些可供借鉴的具体做法与措施，以适应未来教学工作的需要．

1 线性代数教学中存在的问题

1.1 教材层次单薄，内容更新缓慢

传统的线性代数教材多是重理论体系的完整性和严谨性，剥离了概念、原理和案例的背景与现实意义，这就使得教学内容过于抽象，导致学生对其望而生畏，进而影响了他们的学习．因此教材层次单薄的问题便凸显出来．即使有的教材能够吸收一部分实际案例，但也相对陈旧、更新缓慢．影响了学生解决实际问题能力的培养，不利于课程教学质量的提高．

1.2 教学内容缺乏与专业知识相结合

高职数学基础课正在进行着专业的整合和学时的压缩，线性代数也不例外，大约30多个学时．其内容大体包括：行列式，矩阵及其运算，矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性，相似矩阵及二次型．显然，授课学时严重不足．于是教师在课上争分夺秒，教学中片面强调理论学习，轻视或忽视了理论知识与其它专业课程以及生产生活实践的结合，不利于与其它课程和所属专业的衔接．以至于学生经常问到学习这门课程有什么用？能从中获得什么能力的训练？应用线性代数能解决什么实际问题？

1.3 学生数学实践能力不强

由于中学阶段的应试教育，导致学生受到的数学实践能力的培养非常有限，大多情形下只是为了解题而解题．因此学生缺少用数学的思维方式观察周围事物的能力，以及用数学的分析方法解决实际问题的能力．另外，在线性代数教学中，多数学生还是用一只笔，一张纸来完成低维情形的计算，缺乏对现代信息技术的运用.然而，当用线性代数解决专业问题的时候，繁多的变量、庞大的数据都会使学生产生恐惧感，不利于激发学生学习数学的积极性．因此，如何提高学生的数学实践能力，以培养“实用型”人才为目标，是值得我们重视和解决的问题．

2 线性代数教学中融入数学建模的必要性

线性代数是高职院校机电、信息、经济管理等专业的一门重要基础课程和工具课程．学生学习这门课程就是要用相应的数学方法解决实际问题，而数学建模就是培养数学实践能力的最有效最实用的方法 ．目前众多高校在线性代数教学中，教学内容更新缓慢，过多追求逻辑的严密性和理论体系的完整性，缺乏对学生动手能力和应用能力的培养，不利于与其它课程和所属专业的衔接，造成了学生“学不会，用不了”的局面．因此，在线性代数中融入数学建模思想是非常必要，也是势在必行的．

3 在线性代数教学中融入数学建模思想的有益尝试

3.1 数学建模思想在线性代数理论背景中的渗透

线性代数中诸多概念和定理都是对相关实际问题的抽象和概括．如果不介绍实际背景直接讲解，对高职生而言难以接受，他们往往靠机械记忆．因此在教学过程中，可借助于线性代数理论产生的来源和背景，通过对实际问题进行抽象、概括、分析和求解的过程，可让学生切实体会到由实际问题到数学理论的思想方法，从中渗透数学建模的思想方法．

矩阵是课程各部分内容的纽带．在讲解矩阵和矩阵运算概念时，可引入此实例．三个炼油厂I、II、III 生成甲、乙、丙、丁四种油品，现要统计此三个分厂2010年与2011年生产四种油品的总产量．为了使学生体会数学建模思想，教学过程可如下进行．

(1)问题分析与模型建立：教师可以提问一年中各炼油厂生产各油品的数量如何表示？可以提示产品统计量按炼油厂与油品排成行与列，以数表的形式表示．经学生思考后，教师给出肯定答案．同时指出在数据上加上括号就得到了矩阵的定义．

(2)模型求解：用矩阵A、B分别表示2010、2011 年三个炼油厂所生产的四种油品的产量，引导学生思考若要求两年各工厂生产各油品的总产量的计算方法，通过师生之间的分析讨论，从而水到渠成地引出矩阵运算A+B．

通过这个实例，学生既了解到矩阵和矩阵运算产生的背景和在实际中的应用，又体会到了数学建模的过程，增强了学习的兴趣，也为后面学习打下良好的基础．

3.2 针对学生专业特点，融入相应的数学模型

在线性代数教学中，对于不同的专业，可以有所侧重地补充相应的数学模型．而且确保融入的每一个数学模型都能反映出线性代数知识的本质，让学生通过这些模型对线性代数的知识点有充分的认识和理解，激发他们学习的积极性．

在讲授面向专业的数学模型时，应遵循专业实际问题→数学模型→数学解答→应用于专业问题的教学过程．即通过案例分析，筛选变量要素，强调如何用数学语言描述和简化实际问题，进而揭示其内在规律，利用线性代数知识建立线性代数模型，然后引导学生运用所学知识求解模型和应用模型分析实际问题．当然，不同的模型，突出的重点也需要作适当的调整．如在讲解线性方程组解的问题时，对电信专业可以适当融入电路网络方面的数学模型；对于信息专业可以融入计算机图形处理模型；对经济类专业可以融入投入产出模型等等．教师引导学生分析和解决问题，使学生体会到线性方程组与专业课的结合，激发学生学习课程的积极性．由于课堂时间有限，我们可选用比较小的数学建模问题，难易程度可参考如下案例所示．

投入产出模型：某地区有三个重要企业：一个煤矿，一个发电厂和一条铁路．开采1元的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费．生产1元的电力，发电厂要支付0.65元的煤费、0.05元的电费及0.05元的运输费．创收1元的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.1元的电费．在某一周内，煤矿接到外地50000元的订货，发电厂接到外地金额为2500元的订货，问三个企业在一周内生产总值各位多少？三个企业互相支付多少金额？

(1)模型假设与变量说明.假设该地区三个产业间需要的资金完全由该地区提供．设本周内煤矿的总产值为x1，电厂的总产值为x2，铁路总产值为x3．

(2)模型的分析与建立.煤的产值=订货值+(发电+运输)所需要煤的费用；同理，电厂的产值=订货值+(开采煤+运输+发电)；铁路的产值=订货值+(开采煤+发电)所需要的运输费用．

综上所述，可建立如下的线性方程组模型

(3)模型求解

>> a=[1 -0.65 -0.55 50000;-0.25 0.95 -0.1 2500;-0.25 -0.05 1 0];

>> rref(a)

ans =

3.3 立足数学建模思想的有效融入，多种教学手段有机结合

线性代数教学可以尝试采用多种教学手段相结合，以期达到很好的教学效果．

(1)平衡多媒体教学与传统教学．多媒体教学有很好的辅助作用．在教学中引入数学模型时，需要利用多媒体课件呈现实际问题，以及引导学生对模型的分析与求解，使教学内容生动形象．例如，在基础理论教学中，对于比较抽象的概念，如矩阵的特征值、特征向量等，可以利用多媒体课件展示它们的几何意义，使学生从直观上加深对概念的理解，起到事倍功半的效果．可见，多媒体教学可以增加教学容量，扩大教学空间，延长教学时间．但是，传统的黑板教学在把握数学思维的发展、形成过程和知识反馈等方面，要技高一筹，教师所表现出的艺术感染力和魅力不是多媒体所能替代的．因此，我们要逐步找到传统教学手段与多媒体教学有机结合的平衡点，充分发挥多媒体对教学内容的补充和延伸优势，同时体现传统教学的逻辑性，不断提高教学质量．

(2)增设适当的数学实验．根据线性代数计算程序化和独特的计算特征，增加数学软件的上机操作和数学实验，训练学生用计算机解决问题．首先在多媒体课件中添加了Matlab界面下矩阵生成、运算以及线性方程组各情形下的相应解法．而且，在课程中融入数学模型的求解过程也是利用数学软件完成的，这样可以用来引导学生学习数学软件．其次，在每章节加入了相关的实验内容，帮助学生能借助简单的Excel程序和Matlab软件进行科学计算，以增强学生科学计算能力．这样可以更好的提高学生应用线性代数的实践能力．

(3)充分利用网路教学．当将数学模型融入课堂时，会出现学时少与信息量大的矛盾，而且由于学生的认知水平不同，对数学建模思想的领会程度也会有较大差异．为此，我们可以利用校园网建立课程网站，作为课堂教学的补充，为学生提供多层次、多方位的教学资源．网站中的教学资源除包括课堂教学内容外，还提供丰富的与专业相关的数学模型和数学实验，可以利用网上答疑和学生进行数学模型的讨论，算法的研究等．这样缩短了学生与数学建模的距离，而且学生还可以根据需要自由地选择学习内容和形式，灵活安排自己的学习时间，有利于培养学生应用线性代数解决实际问题和其创新能力．

3.4 重视教师队伍高素质化建设

教师是课堂教学的主导者，能否在教学中顺利向学生渗透数学建模思想，教师的素质起着重要作用．这就给我们教师队伍提出了较高的要求，无论是从教育理念上，还是从教学内容、教学方法和教学手段上，都应有新的突破．教学过程中，要求教师对自身的知识体系和知识内容进行及时更新，以适应信息化社会的需求，并应由传统的课堂主导者转变为以学生为主体，通过现代化教学手段，积极调动学生学习的积极性和学习热情．教师要积极参与数学建模竞赛的培训和指导，积极主动地学习和掌握数学建模知识，亲身体会建模的全过程．同时，教师也要结合自己的研究方向，将专业知识运用到实际问题中，进而不断提高自己的数学建模能力和水平．

几年的实践表明将数学建模思想融入线性代数教学中的探索与尝试，旨在使学生领悟数学精神的实质、思想方法及其应用，从而培养学生的数学实践能力和创新能力．在这个长期系统的工程里，课程教学所涉及的教材建设、教学内容、教学手段和方法等方面，还是需要不断地进行探索与改革的．这是需要广大教育工作者的继续努力，以适应培养应用型人才目标的需要．

参考文献：

[1]付立志,王新年.高职线性代数的教学改革与实践[J].教育与职业,2007(6):117-118.

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[3]李小军,申惠敏.成教经管类专业线性代数课程教学改革与实践[J].企业家天地,2011(2):152-154.