自指性命题与说谎者悖论

谢佛荣

(1.南京大学 哲学系，江苏 南京 210093；2.南京师范大学 泰州学院，江苏 泰州 225300)

1931年库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)发表了一篇名为《<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题》的论文，在这篇文章中哥德尔证明了两条重要定理(即哥德尔第一不完备性定理与哥德尔第二不完备性定理)，哥德尔思想的最深邃之处就在于他对这两条定理的证明。哥德尔证明的最核心之处是构造了一个自指性命题G(为了论述的方便把哥德尔自指性命题简称为哥德尔命题)，目的是表明它为真时，却不能在算数形式系统内为它构造一个证明。因此，本文试通过分析哥德尔构造的自指性命题G与“说谎者悖论”之间的差异来展现哥德尔是如何在证明中巧妙避开悖论这一怪圈的，并在其基础上来研究“说谎者悖论”形成的重要特征，最后基于上述的分析，试论证要构建合理、圆满的解悖方案需对悖论消解方案进行一般方法论的研究，进而指出马克思的辩证思维方法对于悖论消解及揭示概念的辩证本性具有重要意义。

一、哥德尔自指性命题与“说谎者悖论”的差异

哥德尔不完全性定理证明的总体策略是，任何足以展开初等数论的形式系统中，找到一个自指命题G，命题G和它的否定在系统中都是不可判定的。也就是说，在系统中存在一个真却不可证的命题。因为根据经典逻辑的排中律，命题G和它的否定是一对矛盾命题，G和┓G必有一真，这就意味着哥德尔构造了一个为真却不可证的命题来证明PM系统是不完全的。构造或证明这一步最为惊奇之处就是要对自指性悖论这一结构进行重塑，从而来支持他的证明。在其论文中，哥德尔提到了“说谎者悖论”，并把它与理查德悖论一起作为引领其证明的启发式入手。公元前6世纪希腊时代的一个诗人哲学家艾皮米尼地斯(Epimenides) 说了一句很有名的话：“所有的克里特岛人都是说谎的。”就其自身来说，这句话并不自相矛盾，但转换成下面形式：

我正在说的这句话是假的

现在问这句话是真的还是假的？如果说这句话是假的，那么“这句话是假的”是假的，也就是说这句话是真的；如果说这句话是真的，那么“这句话是假的”是真的，也就是说这句话是假的，即这句话为真，当且仅当为假。这即所谓的“说谎者悖论”。哥德尔正是利用这个悖论语句的类似命题，即“G在这个系统内不可证”来进行构造证明。而哥德尔构造的命题G却与“说谎者悖论”有非常大的区别，这时大家就会有一个疑问，无论是哥德尔命题还是“说谎者悖论”在形式上非常相似，包含与悖论相联系的“自指”和“否定”概念，为什么不能把哥德尔的自指性命题当作悖论来处理呢，这就是哥德尔证明的神奇之处，因此，下面仔细研究和分析哥德尔构造的自指性命题G与“说谎者悖论”两者之间的差异。

第一，两者的主要差异就在于哥德尔在构造证明哥德尔命题的过程中避开了恶性循环。所谓“恶性循环”实际上就是指自我指称性，也就是我们常说的自己说自己。“说谎者悖论”恰恰具有这个特点，要断定“我正在说的这句话是假的”是真的，就必须依赖于其是假的才能断定，而要断定“我正在说的这句话是假的”是假的，就必须依赖于其是真的才能断定。从上可得，“说谎者悖论”的循环是真值判断上的恶性循环。而哥德尔却很巧妙地避免了这个循环，其奥妙就在于下面的构造过程：

第一步，构造哥德尔命题的基本方法就是用我们所谓的“哥德尔配数”思想方法来进行的。也就是从形式系统的基本符号指配一个数开始，然后根据规则对合式公式指派自然数，当每个合式公式都有了对应的哥德尔数，这时我们就可以根据规则给证明序列指配数字，最终完成哥德尔配数。

第二步，哥德尔通过对映射方法的创造性运用把证明有关形式演算中表达式的结构性质的元数学命题能够精确地映射到这个演算自身，这关键一步就是我们所谓的元数学“算术化”。哥德尔利用映射的方法是要表明算术相关形式演算的元数学命题，确实可以通过用这个演算本身的算术公式来表达。

第三步，借助对角线引理，把哥德尔命题G在PA形式系统中显现出来，从而避免了哥德尔命题陷入恶性循环之中。在此基础上，哥德尔构造了一个二元递归函数B(n，m)，其含义是“n是哥德尔数为m的公式证明的哥德尔数”，在此基础上，哥德尔构造了一个合式公式&(y)B(x，y)，我们记为&(x)，从而将概念“y不可证”形式化。这时，哥德尔借助对角线引理，对上述构造加以利用。所谓对角线引理，实际上是对康托尔对角线方法的再一次运用，它通过神奇的一一对应形式来进行巧妙地对应。对角线引理告诉我们，对任意的一元函数G(x)，都存在一个自然数n，使你得到的数就是你开始的同一个数。接下来哥德尔把二元递归函数B(n，m)的表达映射记为B*(x，y)，然后用x代入进去，就得到B*(x，x)，这就是我们所说的对角化，接下来，设这个公式的哥德尔配数为m，并代入公式得到&[B*(m，m)]，通过这样的构造，得出了一个公式&[B*(m，m)]。这就是“对角线引理”。根据对角线引理，哥德尔得到了&(x)&(g)：UnPr& G(g)。

第二，哥德尔构造的自指性命题G与“说谎者悖论”还有一个重要的差异是“真”与“可证”的区分。在哥德尔不完全性定理整个证明过程中，哥德尔明确指出“真”与“可证”这两个概念之间是不能等同的，需对这两个概念做一个明确的区分。“真”是一个语义概念，在形式系统内找到一个可满足的解释，而“可证”却是一个语法概念，是相对于形式系统来说的，一个公式是可证的，意味着要么它是系统中的公理，要么它是依据分离规则由公理推导得到的定理。因此，“真”与“可证”并非同一的，是有区别的。同时在哥德尔看来，“真”是不可定义的，他说：“在算术化的元逻辑中有些普通概念不可定义。证明这一点的方法就是假定该概念能到手，再由此推出矛盾；在论证中我们必须默认算术的一致性。真数论公式就是不可定义的。”[1]

二、“说谎者悖论”形成的重要特征

综上所述，哥德尔构造的自指性命题G与“说谎者悖论”的一个重要区别就在于避免了恶性循环，也就是我们所说的避免了自我指称(简称“自指”)。因此，笔者认为，“说谎者悖论”形成的一个重要特征是涉及了自指。罗素说：“一切悖论……都有一个共同特征，我们称之为自我指称性或自返性……在每一悖论中，对某种情况的所有情况有所论述，从所说的情况就产生一种新的情况，它既与下述情况相同，又不相同：即在所说的情况中牵涉到所有的那些情况。”[2]既然自指是“说谎者悖论”形成的一个重要特征，那么自指是“说谎者悖论”根本原因吗？

笔者认为，可以对它进行一定的变形。“我正在说的这句话是假的”可以变换为“我正在说的这句话是真的”，如果这句话是真的，则这句话就为真；如果这句话是假的，那么这句话就为假，这样就无法构造出矛盾等价式，从而也无法形成悖论。所以，自指并不是“说谎者悖论”形成的根本原因，并不必然造成悖论。既然自指不是“说谎者悖论”形成的根本原因，从而也就可进一步得出结论，自指也并不是悖论形成的必然原因。哥德尔命题的构造和证明就是一个很好的例证。克里普克(S.Kripke)在《真理论纲要》一文中指出，一些语句是否具有悖论性，有时是依赖于有关经验事实的，并不是任何东西都是依赖于内在的句法和语义的。把是否自我指称作为标准来筛选不引起悖论的语句及引起悖论的语句是行不通的。正如他所言：“不可能有这样的句法或语义的‘筛子’来除去‘坏’的实例，而保留‘好’的实例。”[3]

我们可以进一步追问，既然自指并不是悖论的充分条件，那它是不是悖论的必要条件呢？孔斯(R.C.Koons)在《信念悖论与策略合理性》一书中，通过对置信悖论[注]张建军教授把置信悖论这种类型的悖论称为“合理行为悖论”。(doxic paradoxes)的探讨和分析指出，自指并非悖论形成的一个必要条件。置信悖论大体是这样，甲向乙提出，乙可以选择盒子A或者选择盒子B，A盒子是空的，B盒子里有100美元，但不能同时选择两个，并且甲保证：如果乙就此作出一个不合理的选择，甲将奖给他1000美元。我们假定甲和乙都是理想的理性人，并且甲也能遵守承诺，这些事实都构成甲与乙的共识，这时问，乙该如何选择呢？如果我们假定乙选择A盒子是不合理的，这样的话，那么乙选择A盒子就比乙选择B盒子多得900美元，这样乙选择A盒子它又是合理的；如果我们假定乙选择A盒子是合理的，那么乙选择A盒子就比选择B盒子少得100美元，这样乙选择A盒子又不是合理的。综上可得，选择A是不合理的，当且仅当，选择A是合理的。这种情形恰好与“说谎者悖论”非常地类似，并且孔斯经过严格的构造，得到了一个新的悖论。这个悖论完全符合悖论不可缺少的三个要素：公认正确的背景知识、合乎逻辑的严格推导、可以建立矛盾等价式，所以，孔斯的这个“置信悖论”是一个严格的悖论，但孔斯指出，“置信悖论”的产生或形成关键是“合理性”概念，而“合理性”这个概念是相对于主体的行为来说的，并不是由语言和命题造成的。因此，自指并不是悖论产生的一个必要条件，不通过自我指称也可以构建一些非常有价值的悖论。如陈波教授说：“悖论的成因在于由概念或命题的‘自我指称’加上‘否定’构成的‘自我否定’。若没有这样的‘自我否定’，就无法构成悖论。”[4]

经上述分析可知，自指虽然是“说谎者悖论”的一个重要特征，但并不是“说谎者悖论”形成的唯一途径，单单有自指并不足以使“说谎者悖论”形成，它必须跟否定性的概念直接相联系。在“说谎者悖论”中除了自指这一重要特征外，还必须与“说自身为假的语句为真或为假”的否定性概念联系在一块，否则就无法构成真正的“说谎者悖论”。试想一下，它有自指，却没有自我否定，能否构成悖论？答案是否定的，如上面提到的“说谎者悖论”的变形，它虽然有自指，但没有自指。所以，“说谎者悖论”的另外一个特征是它与否定性概念联系在一块。

在“说谎者悖论”中，除了具有自指和否定性概念这两个重要特征外，笔者认为，还有一个重要特征是它可以建立矛盾等价式。“这句话为真当且仅当这句话为假”这个矛盾等价式是“说谎者悖论”的一个重要特征，由真能够推导出假，由假能够推导出真。建立矛盾等价式是“说谎者悖论”的一个重要特征，那是不是所有的悖论都必须建立起矛盾等价式，否则，就不能称之为悖论？要弄清这个问题的关键在于如何对“悖论”下一个定义的问题。目前学界对于悖论的定义很不统一。如张建军教授[5]说：“如果悖论所由已导出的背景知识并非特定领域认知主体的知识，则相对该领域而言就不称其为悖论；如果在推导过程中出现了逻辑错误，则该‘悖论’之成立失去了逻辑依据；如果推导的结果无法建立矛盾等价式，‘悖论’就失去了其形式特征……所以，建立矛盾等价式是严格意义上的悖论所不可缺少的一个重要特征，它是严格意义悖论的一个重要的形式特征，这样在形式特征上就可显示出悖论之‘悖’。”也就是说，“能够建立矛盾等价式”是真正把悖论的形式特征显示出来的一个重要方式。因为只有这样我们才能把严格意义上的悖论与哲学上所谓的诡辩(如“二分法”、“阿基里斯追不上龟”等)区分开来。

三、对于“说谎者悖论”消解的反思

从传统的语义解悖方案到现代的语义解悖方案，围绕“说谎者悖论”而展开的解悖方案可谓众说纷纭，莫衷一是。笔者认为，从这些解悖方案的分析与探讨中可以看出，主要是通过以下几种方式达到消解“说谎者悖论”此类悖论的目的，但都没有达到真正解决悖论的目的。一是通过禁止自指的方式来达到悖论的解决，如罗素的“类型论”、“塔尔斯基的“语言层次论”等。但经上述的分析可知，自指并不是悖论产生或形成的充分条件，通过禁止自指的方式并不能够达到消解悖论的目的。如黄展骥[6]所言：“排斥自我指涉方案，好像客厅看到一只死老鼠(难堪的问题)，便把它扫入床底，眼不见为清洁，把问题推到别处，产生另一些严重问题。”二是通过揭示违反逻辑基本规律(如不矛盾律等)的方式来达到解悖的目的，如次协调逻辑方案等。三是通过对真值的分析来达到消解悖论的目的，如克里普克的“真值间隙论”方案、多值逻辑方案等，但他们通过对真值进行研究的方案并没能够真正达到解悖的目的。四是把语用学一些的思想(如关于语境、预设等思想)达到消解语义悖论的研究中来，如“语境敏感方案”、“情境语义学方案”等。虽然他们的方案相比于其它方案显得更为合理，更具有说服力，但他们的方案仍然具有这样或那样的缺陷。因此，笔者认为，通过对上述解悖方案的分类可知，这些解悖方案的方法只是通过分析悖论产生的某一方面的根源，然后根据这个根源孤立地去找到处理这一疾病的疗方，并未能找到一种全盘地、系统地来处理或消解悖论的一般方法论研究。如雷歇尔(N.Reseher)[7]所言：“在逻辑学、数学和哲学的专门文献中，对各种不同类型的悖论的讨论可谓众多。但是这些悖论都被单独地、孤立地处理，为每个悖论满足自身需求样式的解决方案。迄今还没有对悖论及其解决方法这一主题作统一的全面处理的尝试。”

既然历史上这些语义解悖方案都未能真正合理地去解决诸如“说谎者”此类的语义悖论，那什么样的解悖方法才是合理的呢？这个问题，关键就在于要对解悖方案提供统一的要求，也就是什么样的解悖方案才是可行的、标准的。苏珊·哈克在罗素、策梅罗的基础上对解悖方法的合理性提出了更加明确的要求，他认为，一方面，必须从技术上给出一个无矛盾的形式理论。也就是说，必须能够阐明哪些表面上无懈可击的推理原则或前提实际上是不能允许的；另一方面，必须从哲学上阐明为什么这些推理原则或前提表面上是允许的，实际上是不允许的。在其基础上，2002年，张建军对罗素、策墨罗和苏珊·哈克关于解悖标准的理论作了一个有机的整合，即“RZH标准”。也就是，“足够狭窄性”——能够排除已经出现的逻辑矛盾；“充分宽广性”——尽可能保留既有的科学成果；“非特设性”——解决方案并不仅仅是为了排除悖论而特设的条件”。[8]28笔者认为，这种比较清晰全面的解悖方案标准，使得我们在研究解悖方法的时候更加有据可循，从而也能更加系统地考量解悖方案的合理性。但在学界对于这种悖论解决的一般方法论研究还是很有限，需要学界对于一般方法论的研究给予更多的关注和探究。

笔者认为，马克思的辩证思维方法论作为思维方法和方式的最高成果，深刻地揭示了概念的真正的辩证本性，因此，它对于悖论解决的方法论的研究具有重要的指导意义。因为悖论构成的一个重要要素之一就是公认正确的背景知识，在悖论解悖方法建构过程中必然会涉及到某些基本概念的变更，因此，在悖论消解的一般方法论研究中，必然会涉及概念方法论问题。如爱因斯坦( Albert Einstein)所言：“为了科学就必须反反复复地批判这些基本概念，以免我们会不自觉地受它们支配。在传统的基本概念的贯彻使用碰到难以解决的矛盾而引起了观念发展的那些情况，这就变得特别明显。”[9]概念方法与悖论的这种密切联系必然要求我们在悖论解悖研究中更多地运用辩证思维方法。因为辩证思维方法的本性就在于它把对象当作不断运动发展的过程来把握的，从而表现出概念的对立统一与运动、变化、发展的辩证本性。因此，更能揭示悖论消解过程所隐藏的矛盾的实在对立。如“说谎者悖论”的产生实质上是混淆了整体与部分之间的关系。根据马克思的唯物辩证法，部分与整体既有联系又有区别，整体是有部分所构成的，部分又是存在于整体之中的，部分不能离开整体而独立存在，但同时整体与部分之间又是有根本区别的，整体所具有的性质部分未必具有，部分所具有的性质整体未必具有，决不能把整体与部分混淆起来。实质上“说谎者悖论”的这个命题，即“我正在说的这句话是假的”，它是由两部分组成的，“我正在说的这句话”和“是假的”组成的。在“说谎者悖论”中，正是把“正在说的这句话”与“‘我正在说的这句话’是假的”相等同起来，把部分与整体相混淆起来，从而导致悖论的产生。总之，马克思的辩证思维方法论对于揭示悖论消解过程中所隐藏的矛盾实在对立具有重要的作用和指导意义，并且悖论的消解对于当代马克思的辩证思维方法论也具有本质的提升作用。如张建军教授[8]360所言：“辩证思维方法论亦应在逻辑悖论的方法论研究中起到其重要作用，而在相互作用的过程中，当代辩证哲学与辩证思维方法论本身也将得到新的发展与深化。”

参考文献：

[1] Godel K.“On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”，in J.van Heijenoot(ed)，From Frege to Godel[M].New York：Bsic Books，1962：597.

[2] 张家龙.数理逻辑发展史——从莱布尼茨到哥德尔[M].北京：社会科学文献出版社，1993.

[3] Kripke S.“Outline of a Theory of Truth”.Rprinted in R.j.Martin.ed.Recent Essays on Truth and the Liar Paradox[C].London：Oxford University Press，1984：55.

[4] 陈 波.逻辑哲学[M].北京：北京大学出版社,2005：121.

[5] 张建军,黄展骥.矛盾与悖论新论[M].石家庄：河北教育出版社,1998：115-116.

[6] 张建军，黄展骥.矛盾与悖论研究[M].香港：黄河文化出版社，1992.

[7] Reseher N.Paradoxes：Their Root.Range.and Resloution[M].Chicago：Carus Publishing Company，2001：5.

[8] 张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京：南京大学出版社，2002.

[9] 爱因斯坦文集：第一卷[M].许良英，李宝恒，赵中立，译.北京：商务印书馆，2009.