二阶脉冲微分方程周期正解的存在性

张晓颖

(长春大学 理学院，长春 130022)

格林函数，则x(t)是脉冲微分方程(1)的解。

0 引言

本文论述下面具有脉冲的周期边值问题的正解的存在性

假设J=［0，T］，0 ＜ t1＜ t2＜ … ＜ tp＜ T是给定的，Ik∈C(J，R)，其中表示x'(t)在t=tk的右极限 (左极限)。

假设f关于变量t是T-周期函数并且在上［0，T］×R满足Cara the odory条件，也就是说(i)对每个x∈R，函数f(x)在［0，T］上是可测的;(ii)对几乎所有的K⊂R，存在hk∈L1［0，T］使得对所有x∈K和几乎处处的 t∈［0，T］，都有 |f(t，x)| ≤hk(t)成立。

文献［1］对这种一阶脉冲微分方程的的周期性边值问题进行了研究。在本文中，我们将致力于研究二阶脉冲微分方程的解的存在性问题。结合文献［1，2］的理论，我们将［2］的结果进行了推广。

1 主要结果

引理1:如果 a≤0，对几乎所有的 t∈［0，T］，都有当(t，s)∈［0，T］×［0，T］时 G(t，s)＜ 0成立。

若a≥0，对于每一个t∈［0，T］，将用到下面最佳索伯列夫常数

引理2:假设a≥0对几乎所有的t∈［0，T］以及1≤p≤∞，都有a∈Lp(0，T)成立。如果‖a‖p≺K(2p)* ，则 G(t，s)≻0 对所有的(t，s)∈［0，T］×［0，T］成立。

让我们定义函数集合Λ-={a∈L1(0，T):a≤0}，对几乎所有的t∈［0，T］成立。

Λ+={a∈L1(0，T):a≥0，对某些1≤p≤∞，有‖a‖p＜ K(2p)*}，对几乎所有的t∈［0，T］。综上，容易看到，如果 M=max0≤s，t≤TG(t，s)且 m=min0≤s，t≤TG(t，s)，则当 a ∈ Λ+时，M ＞ m ＞ 0。当 a ∈ Λ-时，m＜M＜0。

为了定义(1)的解，我们将考虑下面的空间 J'=J{t1，t2…，tn}，X=PC'(J，R)=

定义1:如果一个函数x∈PC'(J，R)∩C2(J'，R)是(1)的解，则它满足微分方程x″+a(t)x=f(t，x)，并且在 J{tk}，k=1，2，…，p 上，对每个 k=1，2，…，p，函数 x(t)满足条件

格林函数，则x(t)是脉冲微分方程(1)的解。

引理4:令X是巴拿赫空间，K是X中的锥.假设Ω1，Ω2是X中满足0∈Ω1⊂Ω2的两个开集。令Φ:K∩)→K是一个绝对连续的映射，满足(i)对所有的x∈K∩∂Ω1，有‖Φx‖≤‖x‖，(ii)存在Ψ∈K{0}使得当x∈K∩∂Ω2且λ ＞0时，x≠Φx+λΨ.则Φ在K∩()上有一个不动点。

2 结语

现在，我们将考虑以下的周期边值问题

其中f∈Car(［0，T］× R，R)满足对所有的x∈R+和t∈［0，T］，有a(t)f(t，x)≥0 且 a(t)Ik(x)≥0，R+= ［0，∞)。

从第1节的研究，我们知道，如果a∈Λ+，则M ＞m ＞0，如果a∈Λ-则 m ＜M ＜0，其中m和 M是满足x″+a(t)x=0周期边值条件格林函数的最小值和最大值。本节中，我们将利用引理4研究系统(3)正解的存在性。

定理1:假设 a∈Λ+，f(t，x)≥0且Ik(x)≥0对所有和几乎所有的R成立。则问题(3)有至少一个正解。如果下面两个条件中的一个成立

可以证明K是PC［0，T］中的一个锥。

定义一个映射K如下:

明显的，Φ:K→X是绝对连续。现在证明Φ(K)⊂K。

x(s))d s+∑pk=1IK(x(tK))］。

f(t，x)≥ (1- ε)fra(t)x，Ik(x)≥ (1- ε)Ir(k)x，k=1，2，…，p，故有Ψ∈K。现证明

若上式不成立，则存在x0∈K∩∂Ωr，且λ0＞0使得x0=Φx0+λ0Ψ。

因为x0∈K∩∂Ωr，则，则对所有 0 ≤ t≤ T，有

这表明μ＞μ+λ0，矛盾。因此 (4)成立。

因此有，‖Φx‖≤‖x‖。

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