势场作用下粒子的双缝干涉现象分析*

欧建文 张雄

( 云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

李淑红

(天津工业大学理学院 天津 300387)

郑永刚

( 云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

无数实验已经证明，微观粒子具有波粒二象性，而波动性的本质是波的相干叠加，建立在叠加原理之上的量子计算、量子通信和量子密码等高新科技已成为国内外的研究热点[1，2]．双缝干涉实验是理解量子叠加原理最引人入胜的例子之一，包括干涉现象定量分析[3]、粒子退相干[4]、量子纠缠[5]等．

近年来，不断有人从薛定谔方程或费曼路径积分的角度给出了自由粒子双缝干涉现象的定量分析[6]，然而自然界中的粒子或多或少总是受到势场的作用．例如，Covella，Overhausser和Werner在1975年进行的中子干涉实验(称为COW实验)证实了引力场以经典方式作用于静止质量m≠0的粒子[7]．甚至静止质量m=0的粒子也受到引力场的作用，如用穆斯堡尔效应证实了光子受重力场作用而产生引力红移[8]．自由粒子是一种不受任何外场作用的理想物理状态，因此讨论势场作用下粒子的双缝干涉现象更具理论和现实意义．

本文运用路径积分的方法，详细讨论了谐振子势和线性势下粒子的双缝干涉现象，给出两种势场下粒子的强度分布公式，并对干涉条纹作了定量分析．

1 双缝干涉实验的路径积分

粒子双缝干涉实验装置如图1所示，双缝中心间距为d，缝宽为a，双缝到观测屏的距离为D，取x轴沿粒子传播方向，y轴沿缝宽方向．

图1 粒子双缝干涉实验装置

当t=t1时，粒子进入狭缝，并在t=t2时刻到达观测屏P．由费曼的路径积分理论，粒子经狭缝S1，在t2时刻到达观测屏P处的概率波幅为[9]

(1)

经缝S2达观测屏P处的概率波幅为

(2)

其中，K(r2t2,r1t1)是费曼传播子，t2时刻观测屏的合振幅ψ1+ψ2，于是双缝干涉的概率分布函数为|ψ1+ψ2|2．为方便起见，假设t1=0时，粒子到达双缝处，其概率幅为1，即

(3)

由式(1)～(3)可见，观测屏概率幅ψ1，ψ2与初始时刻的波函数无关，而是费曼传播子K(r2t2,r1t1)起决定作用，进而影响双缝干涉的概率分布．

2 谐振子势粒子的双缝干涉

(4)

其中T=t2-t1，当ω→0时，谐振子传播子退化为自由粒子传播子．

把式(4)分别代入式(1)和式(2)，求积分

(5)

(6)

上述积分中，由于缝宽a≪D，缝间距d≪D，因此y′2可看作二阶无穷小量而忽略．

t2时刻观测屏的合振幅为

(7)

合振幅模的平方反映粒子的概率密度，因此粒子在观测屏上的强度分布函数为

(8)

因此

(9)

由文献[10]给出自由粒子干涉公式

(10)

图2 谐振子势下粒子的干涉强度分布图

实线是自由粒子的干涉图样，与500 nm光波的杨氏双缝实验的强度分布图一致．虚线是受谐振子势调控所得的粒子干涉图样．

图3 等效双缝间距变化曲线图

由以上理论分析发现，我们可以在不改变双缝干涉实验条件的情况下，通过变化入射粒子所受的谐振子势场的角频率，可以得到各种不同的干涉条纹．这或许在当今新兴的量子工程中极具理论意义．

3 线性势下粒子的双缝干涉

Feynman和Hibbs的专著[12]中给出了很多不同势场下粒子传播子的计算，其中包括自由粒子、谐振子、磁场中的粒子等的传播子．在势能变化不大的一定尺度范围内，势场可以用线性势逐步近似，因此对线性势的分析显得尤为重要．

在线性势V(r)=Fr(F为常量)中粒子的传播子[11]

(11)

其中T=t2-t1，把式(11)分别代入式(1)和式(2)，求积分

(12)

(13)

t2时刻观测屏的合振幅为

(14)

取模的平方，得到粒子的强度分布函数

(15)

(16)

(17)

因此，线性势下主极大位置为

(18)

图4 线性势下粒子的干涉强度分布图

著名的引力场作用下的中子干涉实验(COW实验)表明，干涉条纹的主极大会随着引力势的变化而发生移动，这与我们的理论分析一致．COW实验与线性势下的双缝干涉之间的联系将另文发表．

4 结论

通过上述分析，不论是自由粒子或是谐振子势、线性势作用下的粒子，干涉强度分布公式形式上都是一致的．由路径积分过程分析可知，干涉强度分布公式与dy′的积分有关，而dy′取决于双缝的形状，即双缝的形状决定了强度分布公式的表达形式，这与经典波动光学的惠更斯-菲涅尔原理分析的结果一致．

参考文献

1 薛鹏,郭光灿. 量子通信.物理,2002, 30(06):385～391

2 宋汉冲,龚黎华,周南润.基于量子远程通信的连续变量量子确定性密钥分配协议.物理学报,2012,61(15):1～7

3 Tonomura A,Endo J,Matsuda T,Kawasaki T,Ezawa H,Am.J.Phys.1989,57:117

4 谭霞,张成强,夏云杰.双模场与原子相互作用中的量子纠缠和内禀退相干.物理学报,2006,55(5):2263～2268

5 胡要花,方卯发,廖湘萍,等.二项式光场与级联三能级原子的量子纠缠.物理学报,2006,55(9): 4631～4637

6 刘晓静,张佰军,李海波,等.应用量子理论方法研究中子双缝衍射.物理学报,2010,59(6):4117～4122

7 R.Collella,A.W.Overhauser,S.A.Werner,Phys.Rev Lett.1975,34:1472

8 R.V.Pound,G.A.Rebka.Phys.Rev.Lett.1960,4:274

9 曾谨言.量子力学卷Ⅱ.北京:科学出版社,2007.168

10 程守洙,江之永.普通物理学.北京:高等教育出版社,2006.351

11 侯伯元,云国宏,杨战营.路径积分与量子物理导论.北京:科学出版社,2008.63

12 R.P.Feynman, A.R.Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integral. McGraw-Hill,1965