重力势能之佯谬

张辉鹏

(惠安第一中学 福建 泉州 362100)

“物体由于被举高而具有的能叫势能；某物体在某高度具有多少重力势能；物体从高处下落，其重力势能减少，动能增加……”，各种简略的说法已经被师生所熟悉，已导致学生错误地认为：重力势能是物体本身所具有的，甚至要教师真正解读出“重力势能是属于地球和物体所组成的这个系统”的来龙去脉都有一定的困难.笔者将系统详细地论证重力势能(当然包括其他形式的势能)是属于系统的.

1 准备知识

系统内的一对作用力和反作用力所做的总功与参照系的选择无关.

在某一力学系统内，作用力的功和反作用力的功并不一定总是等值反号的，或者说它们的总功一般并不为零，这在系统内部各物体间存在相对位移的情况下是明显的.

【例题】质量为m的子弹以水平速度v0击中置于光滑水平面上质量为M的木块，射入深度为s0，木块和子弹最后具有共同速度v，现在我们计算子弹与木块之间的一对相互作用力f和f′的总功W总(设f和f′为常量).

方法1：取地面为参照系

如图1所示，子弹对木块的作用力f对木块所做的功为

Wf=fs

式中s为木块的位移.

木块对子弹的反作用力f′对子弹所做的功为

Wf′=-f′(s0+s)

由f=f′,得这一对摩擦力的总功为

W总=Wf+Wf′=-fs0

这里s0表示相对位移，可见存在相对运动的情况下一对相互作用力的总功并不互相抵消.

图1

方法2：取木块M为参照系

子弹对木块所做的功Wf=0，而木块对子弹的反作用力f′对子弹所做的功为

故这一对摩擦力的总功为

我们还可以选取任意其他物体做参照系，应用大学普通物理知识推出同样的结论，即在任何参照系中(不论是惯性参照系还是非惯性参照系)，一对作用力和反作用力做功的总和是相同的，其数值仅取决于力和质点间的相对位移[1].

2 重力势能的引入

在大学普通物理中，势能的概念是在保守力概念的基础上提出的，通常教科书上都是通过对重力、弹力、引力做功的计算，指出这些力做功的一个共同特点：仅仅与受力质点的始末位置有关，而与质点通过的路径无关.因此，我们把具有这种性质的力称为保守力.

例如,在计算质量为m的物体在重力作用下自a点经竖直平面曲线acb运动到b点时(图2)，若以地面为参照系，取y轴竖直向上，则重力所做的功为

由于这个功的值跟物体从a到b所经过的路径无关，所以重力是保守力.

图2

有了保守力的概念，关于势能的概念，常常是这样说的：当物体系内各物体的相对位置发生变化，保守力就要做功，因保守力做功仅与系统中各物体的始、末的相对位置有关，而与变化路径无关，因此我们可以引入一个仅由系统中各物体的相对位置所决定的物理量Ep，并规定它的减量等于保守力在此过程中所做的功，即

Ep1-Ep2=W

这个物理量Ep就叫系统的势能.

3 对重力势能的一些疑问

对这样引入的重力势能的概念，常常会遇到这样一些问题：

(1)重力势能的值是否跟参照系有关？

(2)在计算重力势能时，地球是作为参照系还是作为研究对象？

(3)重力做功与路径无关指的是一个重力做功跟路径无关，还是指一对相互作用力和反作用力的总功跟路径无关？

(4)按上面计算重力的功并引入重力势能，地球是作为参照系出现的，为什么又说重力势能是属于地球和物体这个系统所共有?

这些问题就是高中阶段师生对重力势能这个重要的物理概念似是而非，甚至出现错误观点之所在，下面予以详细论证回答.

4 理解掌握重力势能

现行高中教材不讲保守力及保守力做功，查找了一些普通物理教材，讲到保守力做功跟路径无关时，也没有明确指出是一对作用力和反作用力的总功与路径无关，还是一个力(如重力)做功与路径无关，按教材举例说明，感觉是指后者.

事实上，在研究重力势能时，我们是取物体和地球为系统，计算物体和地球之间的这一对相互作用力的总功.对物体和地球这个研究对象，我们在准备知识中已证明了,这样一对相互作用力的总功跟参照系选取无关，只决定于系统本身相对位置的变化.取地球为参考系计算仅仅是为了使功的计算较简便，因为,这时物体对地球的作用力不做功，这一对相互作用力的总功就等于地球作用在物体上的重力所做的功.实际上如果不取地球为参照系，这一对相互作用力的总功也仍然等于mg(ha-hb)，所以地球实质上与物体一样是作为研究对象出现的.也就是说，mg(ha-hb)不应理解为仅仅是作用在物体上的重力的功，否则很显然这功的数值跟参照系选取有关了，不取地球为参照系，这个数值就不同了.式中(ha-hb)也应理解为物体和地球系统的相对位置变化.

正因为保守力的功与路径无关指的是一对相互作用力的总功，因此重力势能总是属于地球与物体这个系统共有的.

参考文献

1 力学(上册) .福建师范大学物理系普通物理教研室编.1981