运用速度推进导数的教学*

耿锁华

(南京审计学院 数学与统计学院，江苏 南京 211815)

速度、导数都是微积分学中的重要概念，它们在自然科学以及社会科学领域中都有着广泛应用．学生的认知过程是先速度后导数，用速度来加深导数的学习理所当然.牛顿的导数概念也渊源于速度的研究．高等数学教学过程中，导数的学习从没离开过物理学中运动、速度的牵引，之后多用导数求速度，不再探究速度对导数学习的引导．事实上教师还可以进一步利用速度和一些基本常识、熟悉的物理知识概念来缓冲学生在学习导数、导数公式时的认知、接受过程，引导学生认知到许多抽象的数学知识、公式存在于我们的日常生活之中．

1 速度和导数的关系

在高等数学的教学中，牢固建立高等数学中的函数、导数等同物理学中的路程(位移)、速度的思想，牛顿在研究速度时确立了导数概念，分析运动中的速度对导数的学习很有帮助．

(1)导数引例.变速直线运动的速度、曲线切线的斜率．

(2)借助物理知识.在运动中，路程固定(常数)的物体速度为零，速度为零的物体其路程一定是固定(常数).常数f(x)=c的导数为零．反之,如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(x)在区间I上是一个常数．

(3)两物体变速直线运动时的速度一样，它们间的距离始终保持一定．反之，两物体运动间的距离始终保持一定，它们的速度(如果存在的话)必然相等．用数学语言描述：如果函数f(x)，g(x)在闭区间[a,b]上的导数相等，则f(x)，g(x)在区间上相差一个常数．可见，物理模型相对于数学定理学生们更易接受和理解．

(4)竖直直线抛物体运动至最高点速度该是多少？由此可总结出函数最值处的导数特点f′ (x)=0，在高等数学教学中，我们并不需要严格的证明和深奥的理论就能理解函数最值的必要条件．

2 L’Hospital法则教学时的物理模型思考

(1)起始位置是零最好(趋近于零也可以，可以向无穷小量上引导)；

(2)两质点运动时的速度是存在的，作为分母不能为零，有可比性；

(3)两质点运动时的速度之比也是存在的；

3 运用速度、运动进行泰勒中值定理、泰勒公式的教学

通过讨论和对学生进行引导可总结出：

(1)起始位置要一样；

(2)考虑速度(如果是匀速直线运动只要速度一样就可以)；

(3)进一步考虑加速度(如果加速度还有速度再继续分析下去)；

如此，学生们就不会对泰勒中值定理、泰勒级数的出现感到突兀，其实一切高深的数学原理均来源于生活．

4 结束语

高等数学原理的优点是简练、严密、精确，这的确增加了教师教授和学生学习高等数学的难度，学生在学习时普遍会认为数学的公式、定理完全正确．因而全盘接受，缺少思索的过程，不了解高等数学蜿蜒起伏的发展过程，很难将诸多定理和公式同日常生活的现象相联系，当然文章中研究的速度与导数并非完全一样，他们存在不可逾越的界限．物理学中任何物体都有速度，数学中不是任何函数都有导数．

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].第5版.北京:高等教育出版社,2002.

[2]朱来义.微积分[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]李林曙.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,2001.