一类三阶两点边值问题解的存在性*

姚晓斌

(陇南师范高等专科学校 数学系，甘肃 成县 742500)

1 引言

对于带有各种边值条件的显式三阶微分方程，已有很多的解的存在性结果，且在这些问题研究中有着很多的研究方法(见文献[1-6]).非常自然地，会问：对于如下三阶隐式微分方程两点边值问题

(1)

解的存在性结果是否仍然可获得？本文将证明答案是肯定的.

2 预备知识

(H1)f:[0，1]×R×R→R是连续的；

(H2)存在M，L>0，使得对任意的u1，v1，u2，v2∈R.

f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)≤L(u2-u1)+M(v2-v1).

定义 如果α,β∈C3[0,1]且满足

则α,β分别是问题(1)的上解和下解.

3 主要结果及证明

定理1 设(H1)和(H2)成立，如果问题(1)有上解β和下解α满足

α‴(t)≤β‴(t),0

，

证明 由于α‴(t)≤β‴(t)，0

α(t)≥β(t)

.

证明分为如下五部分:

第一步 问题(1)可转化为

设v(t)=u‴(t).注意到u(0)=A,u′(1)=B,u″(1)=C，因此v是如下积分方程

(2)

的解，这表明

是问题(1)的解，其中

第二步 设x(t)=α‴(t)，y(t)=β‴(t)，结合条件(H2)，有

(i)x,y∈C[0,1],x(t)≤y(t);

x0(t)≤x1(t)≤x2(t)≤…≤xn(t)≤…≤
yn(t)≤…≤y2(t)≤y1(t)≤y0(t).

此外，有x0≤xn≤x*≤y*≤yn≤y0,n=0,1,2….

第四步 证明x*,y*是(2)的解.

因f连续且

故

于是

注意到

可得

因此，

即x*是(2)的解.

同理易得y*是(2)的解.

第五步 设

则

参考文献：

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