三阶非线性中立时滞微分方程的可解性

王丽丽

(通化师范学院 数学学院,吉林 通化 134002)

1 引言

近来,诸多学者对中立时滞微分方程振动解及非振动解的存在性有所研究.尤其文献[1]研究了一类一阶微分方程

[y(t)-p(t)y(t-τ)]'+Q(t)G(y(t-τ))=
f(t),t≥t0

解的振动性准则.文献[2]讨论了二阶非线性微分方程

y''(t)+F(t,y(t))=0,t≥t0

非振动解存在的一些结论.文献[3]应用Krasnoselskii不动点定理对二阶非线性中立时滞微分方程

非振动解的存在性进行了讨论.然而,这些文献只讨论了相应的时滞微分方程解的存在性,本文将研究下面的三阶非线性中立时滞微分方程

[r(t)(x(t)+p(t)x(t-τ))'']'+
f(t,x(σ1(t)),…,x(σk(t)))=0,t≥t0

(*)

解存在的若干充分条件,并给出解的有界性及不可数性结果.

2 主要结果

及

|f(t,u1,u2,…,uk)|≤q(t)；

+∞.

定理1 令条件(1)和(2)成立且常数N满足M>N>0.如果存在常数

满足对于充分大的t有

|p(t)|≤c

(1)

成立,那么方程(*)在Ω中有不可数多的有界非振动解.

证明 令L∈(N+cM,(1-c)M).根据条件(1)和式子(1)可以证明存在θ∈(0,1)及充分大的T>t0+τ使得

(2)

且

(3)

成立.显然易知Ω是C([t0,+∞),R)的闭子集.定义映射

(4)

由条件(1)及式子(4),可知∀x∈Ω,t>T,

轮式机器人的线速度可通过编码器获得，设两轮轮距为L，编码器的线数为P（轮子转一圈编码器输出的脉冲数），轮径为D。通过左右编码器的脉冲频率fL和fR可以算得左右轮子的线速度为：

并且

因此,得SLΩ⊆Ω.

下面证明SL是一个压缩映射.事实上,根据条件(1),式子(2)和(4),对于∀x,y∈Ω,t≥T,

由此可知

‖SLx-SLy‖≤θ‖x-y‖,∀x.y∈Ω

成立.故SL在Ω中有唯一的不动点,即为方程(*)的有界的非振动解.

(5)

显然压缩映射SL1,SL2在Ω中各自存在不动点x和y.联立条件(1)及式子(5)可得

即x≠y.综上所述,方程(*)在Ω中存在不可数多有界的非振动解.

定理2 当条件(1)和(2)成立且常数N满足M>N>0时,如果存在常数

满足对于充分大的t有

p(t)≥c

成立,那么方程(*)在C([t0,+∞),R)中有不可数多的有界非振动解.

证明 由定理1及压缩映射原理易证明上面的结论.

定理3 当条件(1)和(2)成立且常数N满足M>N>0时, 如果存在常数

满足对于充分大的t有

p(t)≤-c

成立,那么方程(*)在C([t0,+∞),R)中有不可数多的有界非振动解.

证明 由定理1及压缩映射原理易证明上面的结论.

参考文献：

[1]N.Parhi,R.N.Rath,Oscillation criteria for forced first order neutral differential equations with variable coefficients[J].J.Math.Anal.Appl，2001，256：525-541.

[2]E.Wahlen,Positive solutions of second order differential equations [J].Nonlinear Anal，2004，58：359-366.

[3]Y.Zhou,Existence for nonoscillatory solutions of second order nonlinear differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.2007,331:91-96.

[4]W.P.Zhang,W.Feng,J.Yan,J.S.Song,Existence of nonoscillatory solutions of first order linear neutral delay differential equations[J].Comput.Math.Appl，2005,49:1021-1027.