如何让新瓶中的“旧酒”散发醇香

　　课改伊始，问题解决教学中对数量关系的教学一时忌讳极深，课堂上避而不谈，生怕被扣上“新瓶装旧酒”的帽子。随着课程改革的不断推进，对问题解决教学重新进行理性审视，我们发现数量关系不仅要教，而且需要浓墨重彩地教。这是因为数量关系是解决问题的核心元素，学生只有基于所求“问题”，把握全体“框架”，找到题中蕴含的数量关系，才能打开“解决问题”的正确通道。
　　但在教学中我们发现，由于低年级的问题解决结合数的运算意义的逐步推进，导致“重计算轻问题解决”的现象普遍。再加上教学计算时问题解决相对单一，学生不需经过细致分析就能正确解题，其思维断层容易被掩盖和积压，造成问题解决在低年级顺利通过而高年级困难重重的局面。因此，在低年级的问题解决中，教师也要重视数量关系的教学，通过对问题表征的“自我重构”，分析数量间的内在联系，使学生在解题时既知其然，更知其所以然。
　　一、“运算意义”充分介入，回归问题本质
　　将已知数量合理匹配进行四则运算是解决问题的重要过程。很多学生感到头疼的是“两种数量究竟作何种运算”该怎样确定？其实，每种运算的本质意义都产生于相对特定的实际背景，也运用于相对特定的问题情境。因此，确定“何种运算”的关键在于两种数量的关系契合了哪种运算的“实际背景”。
　　1.通过直观，理解运算意义
　　在四则运算的教学伊始，教师要通过各种直观和实际情境，引导学生理解“加、减、乘、除”运算的内涵，使之建立起该种运算的问题模型，从而在解决问题时实现轻松对接。从一年级开始，教师要引导学生借助直观感知、体验活动等，感悟运算中的数量关系，体会运算意义。如在教学加减法时，可以配合手势、动作、直观图等让学生知道把两部分合起来用加法计算；从一个数里去掉另一个数用减法计算。那么当学生看到如“男生有25人，女生有18人”这样的信息时，他们的头脑中马上就能出现类似于图1的“问题表象”，知道把男生人数和女生人数合起来用加法计算。
　　2.深挖现象，关注思维路径
　　在问题解决的教学中，要深挖现象背后的本质，关注学生算法选择背后的思维路径，消除因“跟着感觉走”而造成的假象。如在一年级下册教学了“求相差关系”的问题解决时，练习中出示如下信息：玩具小熊要8元，遥控车要15元。接着引导学生解决“小磊带20元钱买玩具小熊，可以找回多少元”“遥控车比玩具小熊贵多少元”等问题。在分析数量关系时，利用直观图辅助学生理解：
　　求找回多少元就是从总数里面去掉买小熊的钱，所以用减法算；求贵几元就是从遥控车里去掉与小熊价钱同样多的部分，所以也用减法算。通过对比使学生从减法的本质意义上进一步理解这两种问题解决的内在联系：从一个量里去掉另一个量，用减法计算，从而实现已知数量与减法意义的内部关联。
　　其实，无论多么复杂的数学问题，其解决过程都起步于两种数量间的四则运算。因此，以“运算意义”为起点，引导学生分析数量间的相互关系，确定每个解题步骤，便能让解决问题回归数学本质，实现数学建模。
　　二、深入分析“数量关系”，抽象数学知识结构
　　学生在解决问题时，需要完成两个转化：其一要从纷乱的问题情境中获取有用的信息，然后抽象成数学问题；其二要分析数量关系，确定解题步骤和方法。分析数量关系是解决问题过程中一个不可或缺的环节。低年级问题解决的教学若能重视数量关系的逐步感受，使学生能在解决问题的过程中学会用直观示意图、线段图等方法整理相关信息，能借助所画图例分析数量关系，就能确定解决问题的正确思路，切实提高解决问题的能力。
　　1.经历简化过程，抽象数学语言
　　在低年级问题解决的教学中，教师需树立“大问题”观，不能局限于“当下问题”的教学。从接触问题伊始，就要帮助学生经历“简化问题”的思维过程，把具体的、繁杂的现实情境逐步抽象为自己的数学语言，将生活问题转化为数学问题，实现问题的“自我重构”。如在教学《加法的意义》时，“小明有2朵红花，小雪有3朵红花，一共有几朵红花？”教师要帮助学生学会说“小明的朵数加上小雪的朵数，就是一共的朵数”。这样的问题陈述抓住了“加法含义”的本质，即“把两部分合起来就是总数”。以后出现类似问题时，学生就能很快提取头脑中的解题经验，形成经验与方法的对接。
　　2.培养分析能力，理清解题思路
　　新课程的问题解决注重与其他内容的自然融合，缺少了“类型化”教学，导致有些思维能力弱的学生由于找不到依样画“葫芦”的“瓢”而陷入思维僵局。其实，不管是“应用题”还是“解决问题”，每道题都是由两种或两种以上的数量基于情境内容组建而成的。所以，解决问题的核心任务是深入分析各种数量的内在关系，寻求已知数量间的有效匹配，实现未知数量的“水落石出”。
　　在低年级的解决问题中，学生容易基于生活经验轻松解题，思维过程浅显稚嫩，造成高分背后的低能，导致进入高年级后一碰到问题解决就无从下手。因此，在低年级的教学中，教师也应着眼于培养学生“深入分析”的能力。结合具体情境，将分析法和综合法等思维方法在教学中合理渗透，使学生逐步掌握有效的思维路径，获得举一反三的问题解决制胜法宝。
　　如在教学三年级《连乘问题》时，出示例题：每个方阵有8排，每排有10人。3个方阵一共有多少人？教师组织审题后，学生独立思考，随后展开交流。
　　师：要求总人数，必须知道哪两个信息？
　　生：必须知道一个方阵的人数和方阵数。
　　根据学生回答，教师板书信息框架，并追问：哪个信息是已知的，哪个是未知的？
　　生：一个方阵的人数不知道。
　　师：怎样求一个方阵的人数？
　　生：一个方阵有8排，每排有10人，一共有80人，10×8=80（人）。
　　师：根据学生回答，在图上表示并概括“每排人数×排数=1个方阵的人数。
　　师补充完整框架图：
　　师：刚才我们是怎样思考这个问题的？（学生回顾“由问题指向条件”的分析法思路）
　　师：（指着框架图）根据“每排人数”和“排数”可以求出什么？再根据什么求出总人数？（引导学生“从条件指向问题”的思路再次梳理）
　　上述片段，教师通过逐步剖析、纵向深挖、横向联系的方法，在教学过程中自然引入分析法和综合法，合理抽象连乘问题的数学结构。在“润物细无声”的教学组织中，既帮助学生理清了解题思路，又锤炼了学生的分析能力，多次经历之后，学生便能自觉学会“渔”之能力。
　　当然，分析能力的培养不是一蹴而就的，而是需要一个长期、系统的训练。在一、二年级的问题解决训练中可以侧重于综合法的训练，提供多条信息，让学生选择信息想问题。两步计算问题教学开始后可逐步注重培养用分析法思考问题，可以进行一些诸如“看问题想条件”之类的训练，根据问题从题中寻找与之相匹配的信息。在具体的问题解决指导时，要引导学生合理利用两种方法，融会贯通实现轻松解题。
　　三、“解题策略”相机渗透，建立思考路径
　　问题解决的教学不能局限于获得问题的具体答案，而应该让学生在解决问题的过程中经历思考过程，积累“问题解决”的策略，逐步将解题经验和相应的解题策略进行类化和推广，将个案经验上升为一般策略与方法。低年级教材中并未专门安排“解决问题的策略”的教学内容，但这并非说明低年级问题解决不需要策略的支持。相反，由于低年级学生直观形象的思维特点，通过摆实物、画图等逐步经历符号化、数学化的过程，可适度形成解题策略，帮助建立思维路径。
　　1．亲历思考过程，构建解题模型
　　解决问题过程中核心在于针对数量的相依关系，从所给问题情境中建构出解题模型，这应该是一个主动积极的思维过程，需要一定的策略支持。由于低年级学生思考问题更多地借助直观手段，因此教师在问题解决过程中，应多给学生动手操作的机会，让学生通过摆圆片、数小棒、折一折、圈一圈等方式，在“动手做”中寻找线索，明确数量关系；借助画直观图、线段图等，实现隐性思维显性化，引导学生深层次理解题意。
　　（人教版一年级下《求一个数比另一数多（少）几的问题》教学片段）
　　出示例题（先图后文，根据学生提问后出示完整例题）：作业评比中，小雪得了6朵花，小磊得了4朵花。小雪比小磊多几朵？
　　师：这题该怎样思考呢？你可以摆图片，可以画一画，也可以列式，试着解决这个问题。
　　学生操作后反馈。
　　师：你看到多几朵吗？小雪的花被分成几部分？
　　根据学生回答，继续画图得图2。
　　师生分析：从小雪的花里面去掉和小磊同样多的4朵，就是多出的2朵，所以用减法计算。列式6－4=2（朵）。
　　在尝试解决“小磊比小雪少几朵”时，师继续引导：先请你摆一摆，怎样摆能一眼看出少几朵？
　　学生摆后，反馈得图3。
　　师：对照两幅图，你发现了什么？这两个问题有什么联系和区别？
　　引导学生理解：虽然问题的提法不一样，但都是小雪和小磊在比，小雪比小磊多的2朵就是小磊比小雪少的2朵，也就是他们相差2朵。求相差的2朵，只要从小雪的朵数里去掉和小磊同样多的部分，所以都用6－4=2（朵）计算。
　　上述片段中，通过动手操作、符号表示、直观思考等方式，学生亲历了解决问题的思考过程。借助直观对比，深入到“一个数比另一个数多几”和“少几”的问题之间的内在联系，透过现象直达本质，让学生理解不管是“求多几”还是“求少几”，都是求“相差数量”，都是从“大数里去掉与小数同样多的部分”，从而在深层次理解的基础上达到沟通共融，建构起解决这类问题的基本模型。
　　2.经历解题过程，形成系统思考
　　学生解决问题需经历一个“信息获取、理解问题、探求策略、列式解答、回顾反思”的过程，每一个环节都需要思维的深层介入。从低年级开始，教师就要有意识地让学生经历问题解决的每个环节，教给学生思维介入的路径，在具体情节中适度强化并加以提炼，实现感悟。
　　为加强学生的解题能力，平时的解题过程，可概括地要求学生按照“一找、二想、三列、四思”的解题路径，从找信息、想数量关系、列算式、检验反思等环节入手，让学生自觉经历解题过程，切实提高学生解决问题的能力。
　　综上所述，数量关系既是应用题教学中的“旧酒”，也是“问题解决”教学中的“佳酿”。从低年级开始，教师就要重视和加强数量关系的教学，帮助学生感受、分析、建立和研究数量关系，只有让“装在新瓶中的旧酒”散发出“迷人的醇香”，才能切实有效地提高学生解决问题的能