教育“无痕”，精彩“有迹”

　　无痕教育是指“把教育意图与目的隐蔽起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育的一种教育方式”（卢克谦语）。无痕教育的提出，虽来源于德育领域，但其所彰显出来的人性化和科学性光辉，足以指导一切学科的教学行为。小学数学属于初等数学的范畴，它揭示的是现实世界中最简单的数量关系和几何形体等知识。小学数学课程在内容的呈现上具有由浅入深、由易到难、循序渐进和螺旋上升的特点。小学数学的学科特征为数学教学中实施无痕教育提供了充分可能。“数学教学是数学思维活动的教学”（斯托利亚尔语）。儿童学习数学的过程是数学思维活动的过程。儿童思维的发展经历着从低级到高级、从不完善到完善的发展过程。数学思维是一种隐性活动，且各种思维方式之间的彼此相连、融会贯通和发展变化本身就是一种无痕的状态。
　　可见，小学数学教学过程应该遵循儿童学习数学的思维规律和小学数学学科的基本特性，通过教师的智慧，把作为科学的数学转化为作为学科的数学，把作为文本的数学转化为作为过程的数学，从而把“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”，把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”，引导学生在无痕中学习数学和发展能力，获得丰富的情智体验。那么，数学教学中如何体现无痕的境界呢？本文试以“数与代数”领域第一、二学段的教学实践为例略作分析。
　　一、不知不觉中开始学习
　　让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。实施无痕教育的前提是教师对所教内容的整体把握。因为小学数学学科的教学内容具有整体性和系统性，每册教科书、每个教学单元、每一个课时、每一个知识点的内容之间都有着内在的联系。优秀的教师总是能够瞻前顾后，迁移渗透，把握所教内容与以前所学内容以及将来要学习的内容之间的实质性联系，为学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知的学习。
　　案例一：《认识乘法》的新知引入片段。
　　师：今天我们到动物学校去参观，大家开心吗？
　　生：开心！
　　师：在这块场地上你发现有几种动物？
　　生：有两种动物，是鸡和兔。
　　师：这些鸡和兔，它们今天是怎样排列的？
　　生1：它们是分散排列的。
　　生2：它们是一堆一堆的。
　　生3：我发现兔总是2只靠在一起。
　　生4：我发现鸡总是3只围在一起。
　　师：大家观察得真仔细！我们想知道有几只兔，有几只鸡，该怎么办呢？
　　生1：我数一数，1、2、3、4、5、6，有6只兔。
　　生2：我这样数，2、4、6，有6只兔。
　　师：你为什么可以这样数呀？
　　生2：因为兔子是2只2只在一起的。
　　师：是啊！2只2只地数，还可以这样数呢——1个2，2个2，3个2。（图像对应闪烁）
　　生：我还可以算出来呢！2＋2＋2＝6。
　　师：是啊！在这道连加算式里我们也可以2个2个地数。（引导学生看算式数）
　　上述教学片段中，通过一幅情景图，让学生不知不觉中再现了已有旧知（同数相加），不知不觉中激活了生活经验（每份同样多），不知不觉中生发了所学新知（求几个相同加数还可以用乘法算），不知不觉中走向了数学本质（乘法的本质即是几个几）。
　　在不知不觉中开始，从教育心理学的角度看，是合适的学习起点，即明确学生“现在在哪里”。有了对教学内容的整体把握，就有了对学生原有认知与学习状态的准确了解，就有了对学生生活经验与思维体验的适度掌握。有了这样的教学前提，就能够进一步明确把学生“将要带向哪里”以及“如何走向那里”，从而无痕地将学生引向新知的边缘，让学生油然而生对新知学习的需求。
　　二、不露痕迹中理解新知
　　课堂的本体是儿童的学习，有效的数学学习必然建立在对儿童学习心理深度洞察的基础之上。小学阶段儿童的认知水平属于皮亚杰指出的“具体运算思维”阶段，其最大的特点是思维离不开具体事物的支持，这也导致小学儿童的感知、观察力和记忆均处于初步发展水平，其学习数学的动机和兴趣很不稳定。在这样的前提之下，儿童学习数学的过程，需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，以顺应儿童的学习心理，让儿童在不露痕迹中理解新知的意义。
　　案例二：《一位数乘两位数》的新知学习片段。
　　出示例题情境图让学生列式后，通过以下三个步骤，结合直观活动让学生探索一位数乘两位数的算理。
　　第一步，让学生观察直观图，让学生先分别计算右边筐里桃的个数（4×2=8）和左边筐里桃的个数（10×2=20），然后直观理解要把右边筐里的和左边筐里的桃相加，就可以算出一共有桃多少个（8＋20=28）。
　　第二步，让学生操作小棒，每个学生在动手活动中经历分别相乘再相加的算理。
　　第三步，结合学生的观察、操作和对照活动，逐步形成如下初始竖式（如下图）。
　　教学至此，如果按照一般惯例，直接由老师引导学生把上述初始竖式缩减为简化竖式的话，学生也是能够接受并模仿运算的，但是这却失去了一次帮助学生探索抽象算法、体验思维过程、积累活动经验的良好机会。因此，笔者教学时又做了如下三步设计。
　　第一步，让学生运用刚建立的竖式模型进行模仿计算（题目如下）。
　　第二步，组织学生观察例题的竖式和模仿的竖式，并提问：“这些算式有什么共同的地方？”有学生说：“它们都是两位数和一位数乘。”有学生说：“第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得整十数。”有学生说：“得数个位上的数就是第一次乘得的数，十位上的数就是第二次乘的数。”有学生说：“相加时个位上0加一个数还得这个数，十位上的数也写了两次。”还有学生说：“这样写有点烦，有些地方好像不要写两次的。”……
　　第三步，在学生充分体验了竖式计算的过程之后，教师提出：“那怎样书写就可以更简便一些呢？”让学生讨论并由老师动态演示例题从初始竖式到简化竖式的过程，得到简化竖式（如上面的右图），并让学生自己动手，把刚才计算的三道初始竖式改写成简化竖式。
　　以上教学过程中，教师没有简单地立即让学生用所谓简化竖式计算，而是在实际计算中使学生进一步理解一位数乘两位数的算理，同时通过观察、比较，找出这些初建竖式的共同点，进而产生简化竖式的需要，在此基础上不露痕迹地自然引出简化竖式。这样的学习过程，学生在算理的理解过程中自己发现了计算规律，自己产生了简化的心理需要，自己探索出了简化竖式的写法，在无痕中充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
　　三、潜移默化中掌握技能
　　学生学习数学的过程，既是在教师引导下的意义建构过程，也是在自身需求发展中的自主建构过程。无痕教育视野下的数学学习过程，更主要地体现为教师精心设计学生的学习进程，从某种意义上说是一种“进”与“退”的艺术。通过适当的“退”和必要的“进”，能使得学习过程成为学生潜移默化地掌握知识和技能的过程。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的无痕状态。
　　案例三：《解决问题的策略（倒推）》的新知学习片段。
　　通过如下一组连贯性的学习材料，引导学生在问题解决中不断经历数学模型的建立过程。
　　（1）一个杯子里原有一些果汁，喝了60毫升后，又倒入80毫升，现在有240毫升。这杯果汁原有多少毫升？
　　让学生通过画示意图，了解果汁数量变化的顺序，初步尝试倒推的策略。（如下图）
　　并列式解答：240-80＋60＝220（毫升）
　　（2）
　　学生运用直观表格来展示数量的变化情况，并运用倒推策略得出原来两杯果汁的数量。
　　（3）甲、乙、丙三杯果汁共900毫升，从甲杯倒入乙杯80毫升，再从乙杯倒入丙杯30毫升，现在三杯果汁同样多。原来甲、乙、丙三杯果汁各有多少毫升？
　　以上问题解决活动的流程设计，通过一杯果汁的两次变化，发展到两杯果汁的一次变化，再发展到三杯果汁互相变化，让学生动手画图、列表、列式，在具体的数学活动之后围绕关键性问题思考：“发生了几次变化？”“是怎么变化的？”“什么变了？什么没变？”“怎样能够求出原来的毫升数？”通过摘录条件整理信息→画图列表表达关系→列出算式解决问题，学生充分体验倒推策略的具体形成过程，即解决问题时要逆着事情变化的顺序，把后发生的变化一步步倒回去，直至事情的原来状况，进而把握倒推策略应用的模型特征是“已知现在，要求原来”。这样的数学活动过程，动静结合，数形结合，顺逆结合，让学生不断积累数学活动经验，深刻理解倒推策略的本质，体验倒推策略的应用价值。
　　这种“进”与“退”的过程，是学生潜移默化地掌握知识与技能的过程，也是学生不露痕迹中培养思维能力的过程，更是学生淡墨无痕中发展数学思想的过程。从这个意义上说，数学教学的智慧就在于教师能在“进”与“退”之间游刃有余。
　　四、春风化雨中感悟思想
　　无痕教育理念指导下的数学课堂，是学生享受教师服务的过程，也是学生自主学习、主动发展的过程。这样的过程中，学生的学习经历应是充实而快乐的，学习结果是有效的，学习的过程是充满智慧的。理想的课堂教学过程，似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋润着生命。虽无痕，却有声有色，有滋有味；虽无痕，却如歌如乐，如诗如画。
　　案例四：《认识11～20各数》的新知学习片段。
　　（此案例来源于曾小平、韩龙淑《十进制计数法的数学本质与教学》一文，载《小学教学》2011年第5期。）
　　设计如下四个层次的认数活动：
　　第一层次——体会单个计数的局限性。让学生往空白计数器的个位上一颗一颗地放珠子，当放到10颗珠子时，珠子已经和计数器的铁丝差不多高了，然后再接着放珠子进行数数，等放到15颗珠子时，珠子掉下，学生拾起来又重新放，又掉下……通过这样的操作活动使学生意识到，个位上能放的珠子是有限的，从而引起认知冲突，产生解决新问题的内在需要。
　　第二层次——体会“要用一个代表多个”。让学生在刚才的操作活动之后，针对新问题进行讨论，逐步寻找到简便的办法，即用一个珠子代表多个珠子，并进一步得出为了交流和表达的清楚，通常用十位上的一个珠子代表个位上的10个珠子，叫做“满十进一”。
　　第三层次——操作中理解“满十进一”。让学生动手，在计数器上分别表示9、10、11、13、16等数，在动手操作中反复体会“满十进一”，充分理解十进制计数法的规则。
　　第四层次——操作中体会“退一当十”。在学生多次操作计数器，熟练表示0～20各数之后，将这一过程倒过来，让学生用计数器表示20～0。当表示19时，强调从十位取下1颗珠子，用个位上的10颗珠子替换它，然后从个位上拿走1颗珠子，使学生了解这是“退一当十”。从10到9时，再次进行体会。
　　以上的教学设计，不同于一般的认数教学流程。这四个层次的活动设计浑然一体，针对认数教学的规律，渗透十进制计数法的来源和本质，不断让学生动手操作与交流讨论，让每个学生经历了十进制计数法产生的需要，体验了“满十进一”和“退一当十”的变化过程。在这样的实践活动和思维活动中，学生对数的意义和组成掌握牢固，对十进制计数法的产生背景理解深刻，更重要的是在无痕中学生感悟了数学思想，积累了丰富的数学活动经验。
　　总之，我所理解的数学无痕教育，是建立在数学教育的心理学、美学和哲学内涵基础上的一种教育境界。数学无痕教育是让学生在不知不觉中开始学习，在不露痕迹中理解新知，在潜移默化中掌握技能，在春风化雨中感悟思想。数学无痕教育，是一种理想的教育，一种智慧的教育。无痕，是教育的自然和