奇异典型群作用下子空间轨道的长度

钟裕林，霍元极，2

（1.海南软件职业技术学院基础部，海南 琼海 571400；

2.河北北方学院数学系，河北 张家口 075000）

奇异典型群作用下子空间轨道的长度

钟裕林1，霍元极1，2

（1.海南软件职业技术学院基础部，海南 琼海 571400；

2.河北北方学院数学系，河北 张家口 075000）

设FFq是q个元素的有限域，FFn＋lq是FFq上n＋l维行向量空间，Gn＋l，n是n＋l级奇异典型群之一.FFn＋lq在Gn＋l，n上的作用下导出了它在FFn＋lq的子空间集合上的作用，因而FFn＋lq在Gn＋l，n作用下划分成一些轨道Mn＋l，n.采用矩阵初等行变换的方法，分别给出奇异辛群，奇异酉群作用下子空间轨道 Mn＋l，n的长度.

有限域；典型群；奇异辛群；奇异酉群；子空间轨道

1 基本定理

设GLn（FFq）是FFq上n×n非奇异矩阵构成的集合，熟知GLn（FFq）对于矩阵的乘法作成一个群.FFnq中所有k维（0≤k≤n）子空间组成FFnq在GLn（FFq）作用下的一个轨道，记作 M（k，n），即 Mn＝M（k，n）.由文献［2］中的定理1.7，有下面的命题.

2 奇异典型群作用下子空间轨道的长度

这里只讨论奇异辛群和奇异酉群作用下的情形，其他情形可类似地进行，容易得到其长度的公式.

2.1 奇异辛情形

2.2 奇异酉情形

记FFnq2在酉群Un（FF2q）作用下的轨道是 Mn＝M（m，r；n），而FFn＋lq在奇异酉群Un＋l，n（FF2q）作用下的轨道是 Mn＋l，n＝M（m，r，k；n＋l，n）（见文献［2］）.当条件k≤l和2r≤2（m－k）≤n＋r成立时，M（m，r，k；n＋l，n）≠Ø.由文献［1］中定理5.19，有

类似于奇异辛情形的推导，有（10）式成立，但这里的P11∈M（m－k，r；n），而（12）式等号右边是q2（m－k）（l－k），并且有

定理3 设k≤l，2r≤2（m－k）≤n＋r，那么

［1］ 华罗庚，万哲先.典型群［M］.上海：上海科技出版社，1963：481-488.

［2］ WAN ZHEXIAN.Geometry of classical groups over finite fieldsb second edition［M］.Beijing，New York：Science Press，2002：131-250.

［3］ LIU Y，WAN Z.Pseudo-symplectic geometrie over finite field of characteristic two［C］／／HIRSCHFELD J W P.Advance in Finite Geometries and Designs，Oxford：Oxford University Press，1991：265-288.

［4］ 宋元凤，南基洙.利用有限域上Ⅱ-Jordan型幂零矩阵构造Cartesian认证码［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（3）：37-42.

［5］ VAN LINT J H，WILSON R M.A curse in commbi-nalorics［M］.Second Edition.北京：机械工业出版社，2004：325-332.

［6］ 张朝凤，王连平.幂群的等价条件及其性质的研究［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（4）：21-25.

Length of subspaces orbits under the actions of singular classical groups

ZHONG Yu-lin1，HUO Yuan-ji1，2

（1.Department of Basic，Hainan College of Software Technology，Qionghai 571400，China；
2.Department of Mathematics，Hebei North University，Zhangjiakou 075000，China）

LetFFqbe afinite field ofqelements，FFn＋lqben-dimensional row vector space overFFq，andGn＋l，nbe one of the classical groups.FFn＋lqunder the action ofGn＋l，nintroduce the action the set of subspaces ofFFn＋lq，and this setFFn＋lqbe partitioned into any orbits Mn＋l，n.Using methods of elmentary transformations in matries the length of Mn＋l，nare given.

finite field；classical group；singular symplectic group；singular unitary group；subspaces orbit

O 152.8

110·21

A

1000-1832（2012）01-0036-05

2011-03-02

海南省自然科学基金资助项目（109006，610230）.

钟裕林（1963—），男，副教授，主要从事代数组合论研究.

陶 理）