Neuman－Sàndor平均的Schur凸性和Schur几何凸性＊

钱伟茂

（1.湖州广播电视大学 远程教育学院，浙江 湖州313000；2.湖州职业技术学院 远程教育学院，浙江 湖州313000）

1 引言与引理

2003年E.Neuman和J.Sàndor在文献［1］中定义了两个正实数a，b的所谓Neuman－Sàndor平均：

设

分别表示两正数a，b的算术平均、几何平均、对数平均、平方根平均、反调和平均、第一类Seiffert平均和第二类Seiffert平均.则对于a，b＞0且a≠b，有著名不等式：

G（a，b）＜L（a，b）＜P（a，b）＜A（a，b）＜M（a，b）＜T（a，b）＜Q（a，b）＜C（a，b）.

2011，年李大矛、石焕南等［2］得到：P（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur凹函数和P（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur几何凸函数.李明、何灯［3］证明了T（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur凸函数和T（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur几何凸函数.近年来，诸多文献［4～8］又给出了大量与Neuman－Sàndor平均有关的不等式.

本文根据凸函数理论，证明M（a，b）在ℝ2＋上是Schur凸函数和Schur几何凸函数.为此我们需要如下定义和引理.

对于x＝（x1，x2，…xn）∈ℝn，将x的分量递减重排后，记作x［1］≥x［2］≥…≥x［n］，并用x≤y表示xi≤yi，i＝1，2，…，n.

定义1［9］设x，y∈ℝn满足：

则称x被y所控制，记作x≺y.

定义2［9］设Ω⊂ℝn，φ∶Ω→ℝ，若对于∀x，y∈Ω，当x≺y时，有φ（x）≤φ（y），则称φ为Ω 上的Schur凸函数；若－φ是Ω 上Schur凸函数，则称φ为Ω 上的Schur凹函数.

定义3［10］设Ω ⊂，函数φ∶Ω→ℝ＋，若对于∀x，y∈Ω，

（1）当lnx≺lny时，有φ（x）≤φ（y），则称φ为Ω 上的Schur几何凸函数；

（2）当lnx≺lny时，有φ（x）≥φ（y），则称φ为Ω 上的Schur几何凹函数.

引理1［10］设Ω⊂ℝn是有内点的对称凸集，φ∶Ω→R在Ω 上连续，在Ω 的内部Ω0可微，则φ在Ω上Schur凸（凹）的充要条件是：φ在Ω 上对称且对∀x∈Ω0，有：

引理2［10］设Ω⊂ℝn是有内点的对称几何凸集，φ∶Ω→R在Ω 上连续，在Ω 的内部Ω0可微，则φ在Ω 上对称，且对∀x∈Ω0，有：

则φ在Ω 上Schur几何凸（凹）函数.

引理3［11］设a≤b，u（t）＝tb＋（1－t）a，v（t）＝ta＋（1－t）b，≤t1≤t2≤1，则

引理4M（a，b）是ℝ2＋上的对称函数.

证明 对于a，b∈ℝ＋，a≠b，有：

所以，M（a，b）在ℝ2＋上关于a，b对称.

2 主要结果及其证明

定理1M（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur凸函数.

证明 对于（a，b）∈ℝ2＋，a≠b，令

于是

令

故f（u）关于变量u∈［－1，0）是单调递减，关于变量u∈（0，1］是单调递增.当－1≤u＜0时，（u）＝0，而当0＜u≤1时，也有g（u）≥＝0.因此，当a＜b时，－1≤u＜0，g（u）≥0，有Λ≥0；当a＞b时，0＜u≤1，g（u）≥0，也有Λ≥0.所以，对∀a，b∈ℝ＋，a≠b，都有Λ≥0.根据引理1可知，M（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur凸函数.

定理2M（a，b）关于a，b在ℝ2＋上是Schur几何凸函数.

证明 对于（a，b）∈ℝ2＋，a≠b，令

于是

令g（u）＝sinh－1u＋，则有：

故g（u）关于变量u∈［－1，0）∪（0，1］是单调递增.当－1≤u＜0时，g（u）≤＝0，而当0＜u≤1时，g（u）≥＝0.因此，当a＜b时，－1≤u＜0，g（u）≤0，有Λ ≥0；当a＞b时，0＜u≤1，g（u）≥0，也有Λ ≥0.所以，对∀a，b∈ℝ＋，a≠b，都有Λ≥0，根据引理2可知，M（a，b）关于a，b在上是Schur几何凸函数.

根据定理1和引理3，易得如下推论（证明从略），它给出了两个新的不等式链.

推论1 设b＞a＞0，u（t）＝（1－t）a＋tb，v（t）＝ta＋（1－t）b，＜t1＜t2＜1，有：

特别地，有：

推论2 设b＞a＞0，u（t）＝a1－tbt，u（t）＝atb1－t，＜t1＜t2＜1，有：

特别地，有：

［1］Neuman E，Sàndor J.On the Schwab－Borchardt mean［J］.MathPannon，2003，14（2）：253～266.

［2］李大矛，石焕南，张鉴.Seiffert平均的Schur凸性和Schur几何凸性［J］.湖南理工学院学报（自然科学版），2011，24（2）：7～10.

［3］李明，何灯.一个Seiffert平均的Schur凸性和Schur几何凸性［J］.广东第二师范学院学报，2011，31（3）：23～25.

［4］Neuman E，Sàndor J.On the Schwab－Borchardt meanⅡ［J］.MathPannon，2006，17（1）：49～59.

［5］Li Yong－min，Long Bo－yong，Chu Yu－ming.Sharp bounds for the Neuman－Sàndor mean in terms of generalized logarithmic mean［J］.JMathInequal，2012，6（4）：567～577.

［6］Yang Zhen－hang.Sharp power means bounds for Neuman－Sàndor mean［J］.MathCA，2012，8（4）：1～9.

［7］Neuma E.A note on certain bivariate mean［J］.JMathInequal，2012，6（4）：637～643.

［8］Chu Yu－ming，Wang Miao－kun.Refinements of the inequalities between Neuman－Sàndor，arithmetic，Contra－Harmonic and quadratic means［J］.MathCA，2012，9（13）：1～9.

［9］王伯英.控制不等式基础［M］.北京：北京师范大学出版社，1990.

［10］张小明.几何凸函数［M］.合肥：安徽大学出版社，2004.

［11］李大矛，顾春，石焕南.Heron平均幂型推广的Schur凸性［J］.数学的实践与认识，2006，36（9）：387～390.