形成节点阻抗矩阵的支路优化排序方法

胡鹏飞，胡润滋

(1.重庆市电力公司检修分公司，重庆400039;2.重庆市电力公司电力调度控制中心，重庆400014)

0 引言

节点阻抗矩阵方程是电力系统故障分析计算以及继电保护整定计算中应用较广泛的一种数学模型。支路追加法是形成节点阻抗矩阵的常用方法，它要求支路追加顺序必须满足一定的条件，而此顺序可由人工预先通过对支路编号来制定，或者由计算程序自动查找。采用人工编号的方法，较繁琐费时，已不能适应现代大规模电网计算机应用的要求。由于符合一般支路追加原则的支路顺序组合较多，而依据不同的支路追加顺序，形成节点阻抗矩阵所需要的计算量差异较大，因此有必要研究计算大规模电网最优追加顺序的方法，这方面的研究尚未见报道。本文基于广度优先搜索原理，提出一种形成节点阻抗矩阵的支路优化排序新方法。

1 支路追加法

节点阻抗矩阵描述了节点电流和节点电压之间的关系，由于电力网络一般是连通的，网络各部分之间有着电或磁的联系，因而阻抗矩阵是一个满秩对称矩阵。

支路追加法将整个网络看成从第一条接地支路开始，逐条追加支路，最后将全部支路按预定方式连接起来，构成整个网络。在支路追加过程中，根据新增支路与已加支路的拓扑连接关系，所追加的支路可分为树支、链支两种类型，根据其是否与参考节点关联，又可分为接地树支、非接地树支，以及接地链支、非接地链支。追加树支和链支需要分别计算处理，且其计算方法也完全不同。

1.1 追加互感树支

设原网络独立节点数为n，接入与原网络中支路i-j属同组互感支路阻抗为Zlm-lm的互感树支见图1。

图1 向原网络接入非接地互感树支

接入Zlm-lm互感支路后的阻抗矩阵Z'由原网络阻抗矩阵Z修正得来，其修正元素的值根据阻抗矩阵元素的物理意义，由图1所示求得Zkm、Zmk、Zmm的值为:

式中:E为单位阵;

ylm-lm为互感支路l-m的自感导纳;

ylm-ij为互感支路l-m与i-j之间的互感导纳;

若追加为接地互感支路Zom时，只要将公式(1)、(2)中带有下标为l的阻抗元素置0。若令公式中互感为0，即为追加无互感树支阻抗矩阵元素的修正计算公式。

1.2 追加互感链支

追加互感链支可看作先追加支路阻抗为Zlm'-lm'=Zlm-lm的互感树支，如图2(a)，再追加支路阻抗Zm'-m=0无互感链支，如图2(b).利用已知追加互感树支和无互感链支计算公式，可得追加互感链支时阻抗矩阵元素修正公式。

图2(a) 向原网络接入非接地互感树支

根据追加无互感链支的算法，在节点m与虚拟节点m'之间接入支路阻抗为0的链支(见图2(b))。

图2(b) 加入无互感链支

修正原网络矩阵Z为Z':

Z'=Z-ZnLZ-1LLZLn式中ZnL=Zkm-Zkm'，

ZnL=ZTnL(k=1，2，…，n)

又因为Z'是对称阵，只计算对角元及上三角元，则Z'的任意元素计算公式为:

其中:(h=1，2，…n;k=h，h+1，…n)

所以当向网络追加一条互感链支l-m时，公式(3)中的ZhL，ZkL，ZLL由下式计算

2 优化排序

2.1 优化排序思想

支路追加法形成节点阻抗矩阵，从形成过程计算公式来看，我们清楚地看到:

(1)追加树支不影响矩阵的原有部分，每增加一个新节点矩阵就增加一阶，新增节点的行(列)元素只与引出该树支的原有节点和与其有互感影响的支路相关。形成过程直观容易，且运算量小。

(2)追加链支比追加树支要复杂得多，运算量大，且繁琐。因为追加链支要修正原矩阵所有元素，若计及互感，计算过程将更复杂，计算量也将成倍增长。

以上两点给我们启示，在支路追加过程中，虽然支路追加只要符合要求，其追加顺序是任意的，但是不同的追加顺序，其计算量的差异也相当大。若在追加前对追加顺序进行排序优化，利用排序结果顺序追加支路，可大大减少追加过程中的计算量，节省运算时间，提高运算速度，且占用内存也最小。

因此，优化排序过程的排序应基于以下原则:

(1)追加无互感支路时，宜在低阶时追加链支，即网络每增加一个新节点，应将与之有关的链支追加完毕后，再追加下一条树支。因为矩阵阶数越高，就会引起追加链支时修正计算量成倍增长，有互感时，计算量更大。

(2)追加互感支路时，宜于整组追加或多条追加。这样可以避免逐条追加互感支路的算法中对互感矩阵Zm分阶求逆计算，减少其计算量和繁琐过程。

2.2 优化排序的实现

根据网络接线图，我们把除接地节点标注为0节点外，其余节点任意编号，把编号情况以邻接表(adjacency list)形式存储。在排序过程中充分运用广度优先搜索遍历图。

2.2.1 邻接表、广度优先搜索

邻接表是无向图的一种链式存储结构。在邻接表中对网络中的每个节点建立一个单链表，第i个单链表中的节点依附于节点i的支路。每个节点由三个域组成，其中邻节点域(adjvex)指示与节点i邻接的点在图中的位置，链域(nextarc)指示下一条支路的节点，数据域(info)存储和支路相关的信息，如支路的阻抗或互感情况等。每个链表上附设一个表头节点。在表头节点中，除了设有链域(firstarc)指向链表第一个节点外，还设有存储节点i的节点名或其他有关信息的数据域(vexdata)，按如下所示。

表节点:adjvex nextarc info

头节点:vexdata firstarc

广度优先搜索是从网络节点0出发，在访问节点0之后依次访问节点0的各个未曾访问过的邻节点，然后从这些邻节点出发，广度优先搜索遍历图，直到图中所有已被访问节点的邻节点都被访问到，重复上述过程，直到网络中的所有节点都被访问到为止。

2.2.2 排序的实现

(1)从接地节点0开始进行广度优先搜索，搜索到与节点0的所有邻节点，追加这些邻节点接地树支，把这些邻节点组成的集合记为T0。

(2)通过邻接表判断T0中节点之间是否存在支路直接连接。若有，追加邻节点之间所在支路，即追加链支。

(3)通过邻接表中的数据域判断已追加过的支路是否与其他支路有无互感情况。若有，分两种情形追加:

①判断与该支路的同组互感支路是否与Ti(Ti为网络中每个节点i的所有邻节点的集合，i=0，1，…，n)中的节点有关。若有关，搜索Ti中所有与此有互感的节点i所在的邻节点，整组追加节点i所在同组互感支路。

②若与该支路的同组互感支路与出现过的节点没有关系，而与以后的节点有关，暂时不用追加该支路，留待追加到该支路所在的节点时再进行单独追加。

(4)对T0中的每个节点i依次进行广度优先搜索，每个节点i所在的所有邻节点记为集合Ti(i为T0中的节点编号)。

(5)利用邻接表的信息，对集合Ti中的节点分为以下步骤进行判断追加:

①判断与Ti集合中的节点相关联的支路是否已经追加，若已追加，则忽略该支路。

②判断Ti集合中的节点是否已经出现过的节点。若有，则追加i节点到该邻节点所在的链支支路。并判断该追加链支支路与其他支路有无互感存在，若有，按(3)进行。

③若不存在(5)中②所述的节点，则判断Ti中节点是否与已经出现的节点有支路直接连接。若有，追加已出现的节点与Ti中该邻节点连接的树支支路。

(A)判断所追加的树支支路与其他支路是否有互感，若有，按(3)进行。

(B)再追加该邻节点与已出现的有连接关系的所有节点所在的链支支路。

(C)判断所追加的支路有无互感情况，若有，用(3)进行。

④若②、③的情况都不存在，判断Ti集合中的节点之间是否有支路直接相连。若有，整体追加i与这种节点的树支支路.

(A)判断所追加的树支支路与其他支路是否有互感，若有，按(3)进行。

(B)接着追加该邻节点之间的链支支路。并判断所追加的链支支路与其他支路是否有互感，若有，按(3)进行。

(6)其余节点利用邻接表和广度搜索，反复按(5)的步骤进行。直到网络的所有支路追加完毕为止。

(7)输出排序结果，按此顺序形成节点阻抗矩阵。

(8)结束。

从上述算法来看，在追加过程中始终遵循在低阶时追加链支支路，同时每追加一条支路判断是否有互感，进行整组追加互感，完全遵循优化排序所基于的原则。该算法用计算机编程语言也易于实现。

3 算法仿真

根据以上算法过程，以图(3)所示网络接线图为例说明其排序过程。

如图所示网络，该网络有5个节点，支路1-5、3-5、4-5为同组互感支路。以邻接表形式存储该网络，在数据域中设置a，表示属于同组互感的支路，见图4。

按优化排序算法，过程如下:

图3 算例网络图

图4 网络邻接表

①由算法步骤(1)，广度搜索到接地节点0所有邻节点集合T0={3，5}。则同时追加0-3、0-5接地树支。

②由算法步骤(2)通过邻接表判断集合T0中节点3、5之间有支路直接连接，追加链支支路3-5。

③由算法步骤(3)并由邻接表的数据域判断知支路3-5与支路1-5、4-5有互感，同时判断到该同组互感支路与T0中的节点5有关系，则同时整组追加 3-5、1-5、4-5 互感树支。

④由算法步骤(4)得T0中的节点3、5的邻节点集合分别为 T3={1，2，4}，T5={1，3，4}。

⑤由算法步骤(5)对 T3={1，2，4}进行判断，得知节点1、4为已出现的节点，则可整组追加3-1、3-4链支支路。通过邻接表数据域判断支路3-1、3-4与其他支路无互感存在，跳过追加互感步骤。

⑥再追加树支支路3-2。

⑦由算法步骤(5)②中判断集合T5={1，3，4}中的节点所关联的支路都已经追加，不再进行追加。

⑧判断追加完毕，结束过程，输出排序结果如下:

{0-3，0-5}{3-5，1-5，4-5}{3-1，3-4}{3-2}

⑨按(8)的排序结果追加形成阻抗矩阵。

4 结论

本文给出了形成节点阻抗矩阵优化支路追加顺序的基本原则，在此基础上，利用邻接表和广度优先搜索技术形成最优支路追加顺序的新方法，利用此排序结果大大减少了形成节点阻抗矩阵的计算量，提高了计算速度。该算法内存占用少、易于编程实现。

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