锥度量空间中两对反交换映射的公共不动点定理

史晓棠，谷 峰

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

锥度量空间中两对反交换映射的公共不动点定理

史晓棠，谷 峰

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

在锥度量空间的框架下，讨论了两对反交换映射的公共不动点的存在性和唯一性问题，证明了两个新的公共不动点定理.我们的结果并不要求空间具有完备性，所得结果是前人某些已知结果的进一步改进和发展.

锥度量空间；反交换映射；公共不动点

1 引言及预备知识

2002年，吕中学［1］提出了反交换映射的概念，并证明了一个公共不动点定理.2007年，胡新启等［2］进一步讨论了度量空间中反交换映射对的公共不动点的存在性和唯一性问题.2007年，Huang和Zhang［3］引入了锥度量空间的概念并证明了锥度量空间中的压缩映象原理.最近，李胃胜等［4］研究了锥度量空间中的反交换映射，证明了几个新的公共不动点定理.本文在上述工作的基础上，在不要求空间的完备性条件下，研究了锥度量空间中两对反交换映射的公共不动点的存在性和唯一性问题，证明了两个新的公共不动点定理.

定义1［5］设E是实Banach空间，如果P是E中某非空凸闭集，并且满足下面两个条件：

（1）x∈P，λ≥0⇒λx∈P

（2）x∈P，－x∈P⇒x＝θ，θ表示E中的零元素.则称P是E中一个锥.

如果P的内部非空，则称P是一个体锥.

如果∃δ＞0，使当，x1∈P，x2∈P时，恒有，则称P是正规的.

若E中任二元素x，y都存在上确界sup｛x，y｝，则称锥P是极小的.

给定E中一个锥P后，则定义半序：x≤y（x，y∈E），如果y－x∈P.若x≤y，x≠y，则记x＜y；若y－x∈intP，则记x≪y.

定义2［2］设X是非空集合，若映射d：X×X→E满足下列3个条件：

（1）d（x，y）≥θ，∀x，y∈X，而且d（x，y）＝θ当且仅当x＝y；

（2）d（x，y）＝d（y，x），∀x，y∈X；

（3）d（x，z）≤d（x，y）＋d（y，z），∀x，y，z∈X.

则称d是X上的一个锥度量，（X，d）称为锥度量空间.

（5）设f：X→X，x0∈X，若∀｛xn｝⊂X，且xn→x（n→∞），有fxn→fx（n→∞），则称f在x0处连续.

定义3［3］称f，g：X→X是反交换的，若存在x∈X，使fgx＝gfx⇒fx＝gx.

称x∈X为f，g的交换点，若fgx＝gfx；

称x∈X为f，g的公共不动点，若fx＝gx＝x；

称映射A：P→P满足条件（Φ）：若对∀x＞θ，有θ＜A（x）＜x.

注1 显然，fx＝gx＝x⇒fgx＝gfx，因此若f和g没有交换点，则f和g没有公共不动点.

2 主要结果

定理1 设（X，d）为锥度量空间，f，g：X→X是一对反交换映射，且存在交换点.对∀x，y∈X，当w（x，y；f，g）＝sup｛d（fx，fy），d（fx，gy），d（fy，gy）｝＞θ时，有

其中A满足条件（Φ），则f，g在X中存在唯一的公共不动点.

证明 设u是f和g的交换点，即fgu＝gfu，则由于f和g是反交换映射对，故有fu＝gu，从而fgu＝gfu＝ggu.

下证ggu＝gu.若不然，设ggu≠gu，则

由（1）得

矛盾.所以ggu＝gu，从而fgu＝gfu＝ggu＝gu.因此gu是f和g的公共不动点.

下证f和g的公共不动点唯一.事实上，设z也是f和g的一个公共不动点，且z≠gu，则

由（1）可得

矛盾.故gu是f和g唯一的公共不动点.证毕.

注2 定理1是文献［2］中定理1相应结果在锥度量空间中的进一步推广.

定理2 设（X，d）为锥度量空间，f1，f2，g1，g2：X→X是4个自映射，且（f1，f2）与（g1，g2）分别是反交换映射对，均存在交换点.对∀x，y∈X，当w（x，y；f1，f2，g1，g2）＝s u p｛d（f1x，g1y），d（f1x，g2y），d（f2x，g1y），d（g1y，g2y），d（f1x，f2x）｝＞θ时，有

其中A满足条件（Φ），则f1，f2，g1，g2在X中存在唯一的公共不动点.

证明 设u，v分别为（f1，f2）与（g1，g2）的交换点，即f1f2u＝f2f1u，g1g2v＝g2g1v，因（f1，f2）与（g1，g2）为反交换映射对，则f1u＝f2u，g1v＝g2v，从而有

下面证明f2u＝g2v.否则，若f2u≠g2v，则有

在（6）中取x＝u，y＝v，有

矛盾.从而有f2u＝g2v成立.

下证f2u是f2的不动点.否则，假设f2f2u≠f2u，则

在（6）中取x＝f2u，y＝v有

矛盾，故f2f2u＝f2u，即f2u为f2的不动点.

同理可证g2g2v＝g2v，即g2v为g2的不动点.

因f2u＝g2v，所以g1g2v＝g2g2v＝g2v，即g2v也是g1的不动点.

同理可证f2u也是f1的不动点.从而f2u＝g2v是f1，f2，g1，g2的公共不动点.

下证公共不动点的唯一性.

假设f1，f2，g1，g2存在两个公共不动点，设为z1，z2，且z1≠z2则

矛盾，故z1＝z2，即f1，f2，g1，g2的公共不动点是唯一的.证毕.

注3 定理2是文献［2］中定理2的相应结果在锥度量空间中的进一步推广.

注4 文献［4］中的定理1是定理2中当f1＝g1＝f，f2＝g2＝g时的特例.

［1］吕中学.度量空间中反交换映射的公共不动点［J］.应用泛函分析学报，2002，4（3）：226－228.

［2］胡新启，刘启宽.度量空间中反交换映射的公共不动点［J］.数学杂志，2007，27：19－22.

［3］Huang Longguang，Zhang Xian.Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings［J］.J Math Anal Appl，2007，3321：468－1476.

［4］李胃胜，孙建红，王东明.锥度量空间中反交换映射的公共不动点［J］.昆明理工大学学报：理工版，2010，35（6）：122－124.

［5］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南：山东科学技术出版社，2001.

Common Fixed Point Theorem for Two Pairs of Converse Commuting Mappings in a Cone Metric Space

SHI Xiao－tang，GU Feng

（College of Sciencse，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

In the framework of cone metric space，this paper discussed the existence and uniqueness of common fixed point for two pairs of converse commuting mappings，and proved two new common fixed point theorems.The results do not require the space to be completeness，and these results are the further promotion of the previous results.

cone metric space；converse commuting mappings；common fixed point

O177 MSC2010：47H10；58C30

A

1674－232X（2012）05－0433－03

11.3969/j.issn.1674－232X.2012.05.010

2012－03－03

国家自然科学基金资助项目（11071169）；浙江省自然科学基金资助项目（Y6110287）；杭州师范大学研究生教改基金项目.

谷 峰（1960—），男，教授，主要从事非线性泛函分析及其应用研究.E－mail：gufeng99＠sohu.com