群速度色散对双曲正弦高斯脉冲传输的影响

宋秀玲

（晋城职业技术学院机械与电子工程系，山西晋城 048000）

随着社会信息化的发展，光纤通讯现已成为各国的主要传输手段，正向着长距离和全光网络化方向发展.光纤的损耗、色散和非线性效应是限制光脉冲传输性能的主要因素.随着光放大器的出现，损耗不再是制约光纤传输的重要因素，而光纤色散成了高速光纤通讯必须解决的重要问题之一.

由于光源发射的光脉冲形状和高斯脉冲形状接近，所以人们对高斯脉冲进行了详细的研究，并得到了很多有用的结论.虽然许多激光器发射的脉冲近似为高斯脉冲，但也存在着一大类光束，如：双曲正割脉冲、双曲余弦高斯脉冲、双曲正弦脉冲等，这类光束携带有限能量，为平方可积类光束，并且可在实验室中利用特殊的切趾光阑或光腔产生.[1]本文选取其中有代表性的一类光束——双曲正弦高斯脉冲光束，对其在色散介质中的传输情况进行研究，特别是光脉冲传输过程中的光强形状演变及脉宽和展宽因子随啁啾因子的变化，并对其做了详细的分析和讨论.

1 基本传输模型

如果只考虑光脉冲在单模光纤中传输时的色散效应，NLS方程可简化为

该方程是一线性微分方程，可直接利用傅里叶方法求解，方程（1）的通解为：

是入射光场在z=0处的傅里叶变换.

2 群速度色散对无啁啾双曲正弦高斯脉冲传输的影响

初始入射无啁啾双曲正弦高斯光脉冲的场分布为：[2]

sinh为双曲正弦函数，Ω是双曲正弦项的有关参数，T0是高斯激光脉冲的半宽度，A0是脉冲的振幅.为了分析起见，将上式改写为：[2]

其中Ω0=ΩT.由上式可以看出，双曲正弦高斯脉冲可以通过两个相位相反的高斯脉冲叠加获得.[3]进一步对双曲正弦高斯脉冲（4）作归一化处理，得到其归一化形式为：[2]

其中τ=T/T0.图1为无啁啾双曲正弦高斯激光脉冲入射面的场分布情况.由图1可以看出：无啁啾双曲正弦高斯脉冲入射脉冲的宽度随着正弦参量Ω0的增大而变大，同时强度随着正弦参量Ω0的增大而减小.由于双曲正弦高斯激光脉冲形状复杂，所以该脉冲的脉宽由均方根来精确描述，均方根的时间脉宽σ定义为：[4]

其中

当光脉冲在光纤中传输时会同时受到色散和非线性效应的影响；当脉冲的功率很低或色散长度很小时，脉冲在光纤中的传输主要受色散效应的影响.下面我们主要分析群速度色散影响下双曲正弦高斯脉冲的传输情况.

图1 双曲正弦高斯脉冲在入射场的光强随Ω0变化的归一化图

由（2）～（4）式可得到群速度色散影响下双曲正弦高斯脉冲在光纤中传输任一段距离z后的振幅为：[2]

s=±1，s的正负取决于GVD参量2β的符号.把（8）式代入（7）式可得到传输距离z后双曲正弦高斯脉冲的展宽因子为：[2]

上式中：

图2给出了正弦参量Ω0对无啁啾双曲正弦高斯脉冲在光纤中传输时展宽因子的影响.由图2可以看出：无啁啾双曲正弦高斯脉冲的展宽因子与高斯脉冲的展宽因子一样都是随着传输距离 z/LD的增大在单调展宽，但是在传输距离z/LD一定时，正弦参量Ω0越大，展宽因子越小.与高斯脉冲相比，群速度色散影响下无啁啾双曲正弦高斯脉冲的展宽比高斯脉冲的展宽要缓慢得多.

图3是无啁啾双曲正弦高斯脉冲强度分布随传输距离变化情况.从图上明显看到，在传输过程中，该脉冲不能保持自身的场分布形式不变，随着传输距离的增大，光强愈集中于中心，但同时光强分布出现旁瓣，[1]即脉冲的形状发生了改变；而在高斯脉冲中，随着传输距离的增大，脉冲只是发生了展宽，自身形状并不发生改变.这可以更清楚地从其包络演化图和等高线图上看到，图4是无啁啾双曲正弦高斯脉冲随传输距离的演化图.

图4 双曲正弦高斯脉冲的演化

3 群速度色散对啁啾双曲正弦高斯脉冲传输的影响

下面我们考虑带有初始啁啾的双曲正弦高斯脉冲，其入射场形式为：[2]

对该脉冲作归一化处理，得到啁啾双曲正弦高斯脉冲的归一化强度分布：[2]

图5给出了啁啾双曲正弦高斯激光脉冲入射面的场分布情况，由图可以看出：该啁啾双曲正弦高斯脉冲的强度分布随Ω0的变化与不带啁啾时一样，入射脉冲的宽度随着正弦参量Ω0的增大而变大，而强度随着正弦参量Ω0的增大而减小.已经得到验证，初始啁啾并不影响双曲正弦高斯入射激光脉冲的形状和强度分布.[4]因而啁啾双曲正弦高斯脉冲的初始均方根脉宽与高斯脉冲的初始均方根脉宽的比值特征与不带啁啾时也是相同的.

把（10）式代入（2）、（3）式得到群速度色散影响下啁啾双曲正弦高斯脉冲在光纤中任一点z处的振幅为：[2]

把（12）式代入（7）式可得到啁啾双曲正弦高斯脉冲的归一化展宽因子为：

为了说明正弦参量Ω0对啁啾双曲正弦高斯脉冲的展宽因子的影响，得出初始啁啾双曲正弦高斯激光脉冲在反常色散区传输时，其展宽因子随传输距离的变化曲线图 6.由图可以看出：啁啾双曲正弦高斯脉冲的展宽因子与高斯脉冲的展宽因子相似：当β2C＞0时，如图（a），脉冲的展宽因子在单调增大，同时还与正弦参量有关，正弦参量取值越小，脉冲的展宽因子略大；β2C＜0时，如图（b），脉冲有个窄化过程，并且正弦参量的取值越大，脉冲出现窄化的传输距离越远，脉冲窄化的程度越大.与啁啾高斯脉冲相比，啁啾双曲正弦高斯脉冲的展宽速度要缓慢的多.

图7是啁啾双曲正弦高斯脉冲随着传输距离的演化情况.由于是在反常色散区β2＜0传输的，因此当C＞0时可以看到啁啾双曲正弦高斯脉冲经历了一窄化过程，而后迅速展宽；而在C＜0时，啁啾双曲正弦高斯脉冲单调迅速展宽.对于正常色散区的情况，改变啁啾参量C的符号可得到相同的结果.

4 结 论

本文主要讨论了双曲正弦高斯光脉冲在单模光纤内传输时的色散效应，研究了该激光脉冲在光纤中的演变过程，给出了展宽因子的解析式，详细分析展宽因子与双曲正弦高斯光脉冲参数Ω0、啁啾参量C以及GVD参量β2的关系.结果表明：双曲正弦高斯光脉冲在入射时的光强分布与参数Ω0有关.当β2C＜0时，展宽因子会出现初期窄化过程；当β2C＞0时，双曲正弦高斯光脉冲的展宽因子随着传输距离的增加单调增大.不同的激光脉冲在相同的色散介质中传输时，其色散效应不同.

图6 β2＜0时啁啾双曲正弦高斯脉冲的展宽因子随正弦参量和传输距离的变化

[1]马虹，吕百达，张彬.双曲正弦高斯光束及其变换特性的研究[J].中国激光，2000（8）.

[2] S.Konar,Soumendu Jana,Linear and nonlinear propagation of sinh-Gaussian pulses in dispersive media possessing Kerr nonlinearity. Optics Communications[J],2004.236.()..

[3]刘浩，王黎，高晓蓉.余弦－高斯激光脉冲在单模光纤中的色散效应[J].光电工程，2005（12）.

[4][美]G.P.Agrawal.非线性光纤光学原理及应用[M].贾东方，等译.北京：电子工业出版社，2002.