拟Lorenz方程在周期扰动下的奇怪吸引子*

吴 萃， 陈 艳， 陈凤娟

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

在周期扰动方程的研究中，由同宿缠结产生的奇怪吸引子是一种复杂的动力学现象，它在混沌理论的研究中占据着重要的地位．过去，人们常用Melnikov方法判断横截同宿点的存在，从而得到Smale马蹄，这样就从理论上证明了系统的混沌性．但是Smale马蹄不能通过数值方法模拟出来，因为马蹄的吸引域为零Lebesgue测度集．1976年，在对Hénon映射的研究中，通过数值方法模拟出混沌吸引子，即Hénon吸引子［1］，它是一种SRB测度下的混沌现象［2-5］．近年来，文献［6-8］对二维同宿缠结理论作了系统的研究，通过SRB测度建立了混沌理论结果与数值模拟之间的桥梁．

二维周期扰动方程为

式(1)中:0 ＜β ＜α;μ 是小参数;f(x，y)，g(x，y)，P(x，y，t)，Q(x，y，t)是(x，y)的高阶项;P(x，y，t)，Q(x，y，t)是周期为T的时间周期函数．定义方程(1)的 Melnikov函数［7］为

式(2)中:l(s)表示未扰动方程(即μ=0)的同宿轨;τ⊥l(s)表示同宿轨在s时刻切向量的单位法向量;E(s)表示法向扩张率．若点(0，0)为未扰动方程的耗散鞍点，且存在同宿到该耗散鞍点的一个同宿解，则当 Melnikov函数 M(θ)是 Morse函数时，有以下结论［7］:

1)当参数μ→0时，存在无穷多个互不相交的μ开区间，使得同宿缠结Λμ拓扑共轭于无穷符号的马蹄;

2)当参数μ→0时，存在无穷多个互不相交的μ开区间，使得同宿缠结Λμ是由一个吸引的周期轨和无穷符号的马蹄构成;

3)当参数μ→0时，存在一个μ的正Lebesgue测度集，使得同宿缠结Λμ出现SRB测度意义下的似Hénon吸引子．

当参数μ→0时，上述3类现象在区间［μi+1，μi)上形成一个固定的动力学模式，这个模式呈现一定的周期性，周期为

式(3)中:β是方程(1)的不稳定特征值;T是扰动周期．

若未扰动方程存在2个同宿到耗散鞍点(0，0)的同宿解，则存在3类奇怪吸引子:周期汇、似Hénon吸引子和具有随机性质的秩一吸引子［8-10］．这3类奇怪吸引子组成的动力学模式也呈现周期性，周期由式(3)决定．

本文研究一类三维拟Lorenz周期扰动方程．拟Lorenz方程在研究光在液晶介质中的传播具有重要的应用［11］，它存在一个耗散鞍点，这个耗散鞍点具有一维不稳定流形和二维稳定流形．首先通过数值模拟找到该方程存在2个同宿解的粘合分支值;然后数值模拟周期扰动方程，得到3类奇怪吸引子:周期汇、似Hénon吸引子和秩一吸引子．本文的结果是二维同宿缠结理论在三维方程中的应用和推广．

1 拟Lorenz周期扰动方程的奇怪吸引子

拟Lorenz方程为

式 (4)中，β，α，δ和ε是参数．方程(4)对研究液晶对光传播的影响具有重要意义，它揭示了液晶特有的物理与光学性质．

首先，点O(0，0，0)是方程(4)的不动点．随着参数的变化，方程(4)出现粘合分支，它是通向混沌的一种新途径［12］．由文献［11］知，当 β =1．8，α =1．5，δ=-0．07，ε =0．076 071 时，方程(4)出现第1 次粘合分支，此时方程 (4)存在2个同宿到不动点O(0，0，0)的同宿解，如图1所示．

图1 方程(4)在 β =1．8，α =1．5，δ=-0．07，ε =0．076 071 148 687 时的2 个同宿解

方程(4)的周期扰动方程为

式(5)中，μ 和 ω 是参数．易知，当 β ＞1，α ＞0时，O(0，0，0)是方程(4)的耗散鞍点，特征值分别为

2 数值结果

2．1 模拟过程

1)对于方程(4)，首先固定参数(β，α，δ)=(1．8，1．5，-0．07)．通过4 阶龙格-库塔法和 C++语言模拟过初始点(x0，y0，z0)=(0．01，0，0)的解，得到方程(4)存在2个同宿解的第1次粘合分支值 ε=0．076 071 148 687．由于数值模拟中扰动参数μ的精度达到10-8，因此ε的精度为10-12，如图1所示．

2)固定μ值，让初始时刻t0在区间［0，1)上变化，步长为Δt0=0．001．即对固定的μ值，模拟方程(5)的1 000个解．

2．2 数值结果

令ω=2π，对充分小的μ值有如下结果:

1)秩一吸引子．图2为参数μ=1．211×10-4，t0=0时的秩一吸引子．其中图2(a)是方程(5)的三维相图，图2(b)是三维相图在x-y平面上的投影，图2(c)是变量x的时间序列，图2(d)是x(k)的傅立叶频谱．

2)似Hénon吸引子，如图3所示．似Hénon吸引子是SRB测度意义下的混沌吸引子，它表示周期解附近的混沌动力学．通过数值模拟发现方程(5)存在2类似Hénon吸引子，即双边似Hénon吸引子和单边似Hénon吸引子．图4表示单边似Hénon吸引子．

3)周期汇，如图5所示．周期汇表示方程(5)出现稳定的动力学．由图5(c)可见，此时方程(5)出现吸引的周期轨．图5(b)是图5(a)在x-y平面上的投影．类似于2类似Hénon吸引子，方程(5)同样存在2类周期汇:双边周期汇和单边周期汇(如图6所示)．

随着μ的变化，所有的数值结果如表1所示．由ω=2π可知，方程(5)的扰动周期为T=2π/ω=1．因此，μ 的理论周期为 eβT=e1．8≈6．049 6．表1 中“似 Hénon 吸引子(2)”表示双边似 Hénon 吸引子(见图3)，而“似Hénon吸引子(1)”表示单边似Hénon吸引子(见图4)．同理，“周期汇(2)”表示双边周期汇，“周期汇(1)”表示单边周期汇．

表1 方程(5)关于扰动参数μ的动力学模式周期性

续表1

3 结语

本文研究了一类三维拟Lorenz周期扰动方程．拟Lorenz方程在研究光在液晶介质中的传播具有重要的应用，反映光在传播中的复杂的动力学现象．该方程存在一个耗散鞍点，这个耗散鞍点具有一维不稳定流形和二维稳定流形．首先通过数值模拟找到该方程存在2个同宿解的粘合分支值;然后数值模拟周期扰动方程，得到3类奇怪吸引子:周期汇、似Hénon吸引子和秩一吸引子．本文结果是二维同宿缠结理论在三维方程中的应用和推广．

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