不同图灵模作用的几种斑图

白占国，董丽芳

（河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002）

不同图灵模作用的几种斑图

白占国，董丽芳

（河北大学物理科学与技术学院，河北保定 071002）

采用双层耦合的CIMA模型，研究了不同图灵模相互作用时斑图的选择、形成机制.结果表明：当2个子系统分别处在超临界和次临界分岔点附近时，超临界图灵模和次临界图灵模相互作用产生耦合，得到六边形和超六边斑图；当2个子系统激发的图灵模均为超临界模时，二者之间不发生耦合，每个子系统各自形成简单的条纹斑图；当2个子系统激发的图灵模均为次临界模时，2个模产生相互作用，系统最终选择完全相同的“豆角”斑图.此外，图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.

图灵模；超点阵；超临界和次临界

斑图（pattern）是一种典型的非线性自组织现象［1－2］，广泛地存在于自然界，也可以在不同的实验室系统中进行研究.其研究内容涉及物理学、数学、化学、生态学等各个学科，而且在心脏病的防治、材料处理和局域生长以及等离子体光子晶体等方面具有广阔的应用前景，近年来引起人们极大的兴趣.国内外学者在实验［3－7］、尤其是理论上［8－14］做了大量的研究，得到了种类丰富的斑图.例如，杨灵法等人［8－10］研究了系统处在超临界和次临界分岔时的超点阵斑图和叠加斑图的形成机理和空间共振条件.发现三波共振和相同的对称性对超点阵斑图的形成起着重要作用.Fineberg等人［11－12］研究了次临界图灵模与一个流体表面的超临界法拉第波之间的相互作用，结果表明该系统出现的自组织四边形和多种超点阵斑图都是由多个非线性的波矢构成，而且不同空间模峰值同时发生是三波共振的必要条件.Bachir小组［13］和Epstein小组［14］分别得到零模与不同空间模的相互作用，及超临界模与MASK模相互作用时的图灵斑图.从以往的研究看，前人工作大多集中研究超临界模和次临界模的相互作用，对2个图灵模均为超临界或次临界研究较少.

为了进一步理解斑图形成和选择的物理机制，推进非线性科学的发展、加快其实际应用的进程，研究系统处于不同分岔点时图灵模之间的相互作用尤为重要.本工作针对此现状，采用双层耦合的CIMA模型，细致研究2个子系统激发3种分岔类型的图灵模相互作用时斑图的形成机理.

1 理论模型

采用双层耦合的CIMA模型［14］，在无量纲条件下方程可写成如下表达式：

其中，i）为系统的局部动力学.式中u和v分别表示变量活化子与禁阻子，Du和D v为二变量的扩散系数，a和b是系统的控制参数，此方程组存在均匀定态解通过作线性稳定性分析得到：当控制参数b＞b H＝3a2

5－a

2 结果与讨论

图1是超临界与次临界分岔点耦合系统的色散关系及出现的斑图.从系统的色散关系（如图1a所示）

图1 图灵模为超临界模和次临界模时的色散关系和斑图Fig.1 Dispersion relation in coupled system at supercritical or subcritical bifurcation point and patterns in two subsystems

可以看出，子系统1处于超临界分岔点，激发超临界图灵模k1，振幅较大为基模又叫主动模，占主导地位；子系统2则处于次临界分岔点，产生1个次临界图灵模k2，振幅较小，是次谐振模，又称从动模，二者具有不同空间尺度.超临界图灵模k1是不稳定的，在次临界图灵模k2作用下，激发出1个新的图灵模k3，三者满足三波共振关系k1＋k2＝k3，使2子系统之间发生非线性共振.长波模调制短波模，在子系统1出现超六边斑图（如图1b所示），子系统2仍然呈现简单的大点六边形斑图，如图1c所示.观察超六边的傅里叶谱发现，超点阵能量的空间分布较大点六边形更为复杂，包含3个不同空间尺度的波矢.

通过调节控制参量，使得k2模由次临界的稳定模穿过虚轴变为超临界的不稳定模，子系统2经历一个非平衡相变，原来稳定的不动点变为不稳定的焦点，这种不稳定的焦点叫动力学系统的“排斥子”［1］.2个“排斥子”互相排斥，导致2个子系统不发生耦合，如图2所示.2个超临界模k1和k2之间没有相互作用，每个子系统各自出现简单的条纹斑图，而非六边形斑图.继续调节系统的控制参量，使2个不稳定的超临界模变为稳定的次临界模，考察其相互作用时对系统斑图的影响，如图3所示.从图3a可以看出，此时，2个子系统的不动点均是稳定的，都是“吸引子”.2个图灵模地位相当，二者互相竞争，相互影响，2个子系统之间出现较强的耦合现象，并且相互调制，最终出现完全相同的“豆角”斑图，即当系统处于次临界／次临界分岔点时图灵模的作用与前面2种情况均不相同.

图2 2个图灵模均为超临界模时的色散关系和斑图Fig.2 Dispersion relation in coupled system at supercritical bifurcation point and patterns obtained in two subsystems

图3 2个图灵模均为次临界模时的色散关系和斑图Fig.3 Dispersion relation in coupled system at subcritical bifurcation point and patterns in two subsystems

比较图1、图2和图3发现，2个子系统是否能够耦合及耦合强度的大小，敏感依赖其图灵模分岔类型：当系统处于超临界与次临界分岔点时，由于耦合作用，子系统1出现超六边斑图，子系统2则不受耦合因素影响，仍然呈现简单斑图；当2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合；如果2子系统激发的图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统强烈耦合.此外，斑图的空间对称性也因图灵模分岔类型的不同而改变，其中当系统处于超临界分岔点时系统选择的斑图空间对称性最低，是条纹对称性；次临界分岔点次之，为类四边形对称，当2个子系统分别处于超临界与次临界分岔点时，系统形成的斑图空间对称性最高，具有六边形对称性.

3 结论

通过对双层耦合的反应扩散方程进行线性稳定性分析，得到系统的分岔条件，选择不同的控制参数，使2个子系统分别处于超临界和次临界、超临界和超临界、次临界和次临界3种不同分岔点，在随机的初始条件下模拟了斑图选择和时空演化.模拟结果表明，不同图灵模的相互作用在斑图的选择和形成过程中起着重要作用.当2个子系统激发的图灵模分别为超临界模和次临界模时，长波模调制短波模，二者相互作用使2个子系统发生耦合，满足三波共振条件，子系统1出现超六边斑图，同时子系统2出现简单六边.2个子系统是否能够耦合，敏感依赖其图灵模分岔类型：如果2子系统激发的图灵模均为超临界模时，层与层之间不发生耦合，每层内部满足空间共振条件，每个子系统各自形成不同尺度空间的简单条纹斑图；值得注意的是，当2个图灵模均为次临界模时，2个模地位相当，其相互作用不同于前面2种情况，二者互相竞争，相互影响，使得2个子系统最终选择完全相同的“豆角”斑图模式.此外，还发现，图灵模的分岔类型还改变斑图的空间对称性.本结果对深刻理解斑图形成和选择的物理机制，推动斑图动力学的发展具有一定意义.

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Several patterns formed by different Turing－mode interaction

BAI Zhan－guo，DONG Li－fang
（College of Physics Science and Technology，Hebei University，Baoding 071002，China）

Mechanisms of pattern formation and pattern selection with different Turing modes interaction are investigated by using a two－layer coupled CIMA model.It is shown that hexagonal superlattice and simple hexagon arise respectively in subsystem1 and subsystem 2 under the condition that two subsystems locate at supercritical or subcritical bifurcation point.Both of them in two subsystems cannot interact when the two Turing modes are supercritical and one simple stripe pattern in each of sub－systems emerges spontaneously.The identical‘bean’patterns is selected in the two subsystems when two Turing modes are subcriticl.In addition，the bifurcation types of the Turing modes also affect the spatial symmetry of the emerging patterns in system.

Turing modes；superlattice；supercritical and subcritical

O461.2

A

1000－1565（2012）02－0140－04

2011－02－15

国家自然科学基金资助项目（10775037）

白占国（1971－），女，河北景县人，河北科技大学副教授，主要从事等离子体物理斑图动力学方向研究.

董丽芳（1963－），女，河北保定人，河北大学教授，博士生导师，主要从事等离子体方向研究.

E－mail：donglf＠hbu.edu.cn

孟素兰）