学习经典案例体验数学文化*

☆张映姜

（湛江师范学院数科院，广东湛江 524048）

呈现网上经典的数学案例，丰富数学课堂的学习，这将成为当前学校数学课堂中常见的情形。有调查表明，英国有62.2%、德国有41%的教师喜欢使用网络上课。[1]在我国，调查表明，67.02%的学生认为丰富的教学内容、多样的呈现方式是重要的；18.92%的学生希望利用网络进行教学，而认为选择传统与网络结合教学的学生有77.30%。[2]这说明，生动直观的网络资源、开放的网络教学的确受到学生的追捧。通过网络资源，利用高尔顿钉板可进行直观体验，运用七巧板拼图能实施游戏学习，利用汉诺塔活动让学生学会探究，通过掷抛硬币让学生理解随机主题。这些悠久的历史案例，经典的文化名题，生动的网络情境，促进学生体验性的网络学习，丰富知识和情感经验，追溯知识的源头，丰厚知识的文化内涵，构建知识、获得意义，欣赏数学文化，增进情感。

一、高尔顿钉板试验：直观体验

学习对象形象化，学习内容直观化。直观能打破时空限制，集文本、图形、动画、音视频等多种媒体把教学内容展现在学生面前，让学生迅速感知学习内容，把学习内容变为更为具体的、可感知的东西。英国生物统计学家高尔顿做了一个频率稳定性的实验，即高尔顿钉板试验，通过网络可生动地展示高尔顿钉板试验，即形象地展示随机事件概率分布情况，深受学生的喜爱。学生参与高尔顿钉板试验，观察试验结果，能形成高尔顿钉板的概率分布图，生动的形象、直观的图像的经验有助于学生对试验的理解和记忆。这与心理学家布鲁纳提出的学习经验理念一致。

钉板实验的网址：http:／／4a.hep.edu.cn／NCourse／gltj／gltj＿sjsy.htm＃.

如图1，展示著名的高尔顿钉板统计实验。网上提供的高尔顿钉板动画直观生动，能准确地将正态分布的形状展现出来，同时，还可把偏态分布模拟地、形象地体现，充分形象地揭示概率与分布间的关系，惊叹高尔顿天才的实验，佩服网络资源提供者高超的设计。如图2所示，每一颗钉子的位置恰好位于下层两颗钉子的正中间，小球碰到钉子后向左落下均以概率p。在高尔顿钉板的模拟统计实验中，可以设置小球从钉子左边落下概率p、样本的容量即小球个数以及演示的次数。并在p＜0.5，p＝0.5，p＞0.5分别进行模拟的统计实验，让学生观察、思考、分析、比较，归纳出概率p与事件分布统计关系，总结概括分布的统计规律。通过大量的随机事件来发现随机事件分布的规律，并发现概率p对分布的影响。如图1所设置的数据，通过试验发现，分布的规律如图2所示。通过直观学习，学生在事件分布规律思考中发现参数（在一定范围内）对结果的影响，同时，也感受到概率分布丰富的文化内涵，形成个人的概率分布的知识意义，通过模拟直观试验，引导和启发学生进行深入思考，仔细分析、概括归纳等思维活动，掌握了知识，丰富了内涵，获得了直观经验，也理解了概率分布的数学模型。

图1

图2

不难理解夸美纽斯的名言，“一切知识都从感官开始的”，“在可能的范围内，一切事物应尽量地放在感官的跟前。一切看得见的东西，应尽量地放在视者跟前；一切听得见的东西，应尽量地放在听者的跟前……假如有一个东西能够同时在几个感官上面留下印象，它便应当和几个感官去接触”。特瑞赤拉研究认为，83%的信息通过视觉获得，11%的信息通过听觉获得[6]。利用图形、动画、图像、模型等多种媒体，把抽象的教学内容化为具体化、形象化、直观化、生动化，让学生通过多种刺激迅速感知，把握学习对象的特征，发现规律，概括结论，让学生获得图像经验，从而理解知识。

二、七巧板拼图：游戏体验

游戏体验也是有意思的学习形式。通过游戏体验，不仅能吸引学生的注意力以及提高学习兴趣，而且还能激发学习动机，增强学生的参与意识和创造意识。七巧板是著名的拼图游戏，将一块正方形的板分割成七块，不同的拼凑可得到千变万化的图案。利用http:／／www.puzzle8.com／tangram／中的七巧板进行拼图竞赛。

首先，针对“人物类、建筑类、动物类、图形类、物品类、交通类”等七巧板游戏，让学生进行看形拼图。如图3、图4是利用七巧板游戏平台将七块板进行平移、旋转而拼成得到的松鼠，兔子状的图形。

图3

图4

其次，让学生利用七巧板进行想像拼图，看谁最具有想像力。由于七巧板构思巧妙，变化无穷，对学生是个挑战。学生用七巧板可拼成各种图案和文字，能出现许多拼图高手，课堂十分活跃。通过学生摆出各种各样的图形，增强了形象思维，启发了智慧，提高了创造能力。

然后，让学生评评七巧板。“七巧板”是中国古时的发明，历史悠久，广为流传。变化之多，至少千种，随手变幻，风景、建筑、物品、动物、人等形态，都可用七巧板拼图表示。无论怎样将图形进行旋转、平移，每块板的形状、大小不会改变。奇妙的七巧板，让我们进入美妙的拼图世界。七巧板排闷破寂，众人喜欢，爱不释手。拿破仑流放时将其用来消遣，锻炼思维，打发时光。李约瑟说它曾是“东方最古老的消遣品”。杜威提出以活动为中心的主张，早已关注到学生的活动经验。他主张学生的学习从生活和经验出发，通过实际动手，实际操作等各种活动进行学习，从做中学，通过活动获得体验，在实践体验中获得经验，在具体实践情境中获得意义。网络中的游戏学习，让学生从游戏中感受历史文化，又理解数学知识和思想；网络中合适内容的游戏学习，能激发学生对知识的兴趣，开发智力，启迪心灵，让人动手、动脑；学会观察、概括，培养能力，掌握方法，提高素质。

三、汉诺塔的活动：探究体验

探究体验也是重要的学习方式。科学研究需要探究、探索，通过网上实验探究，抽象、归纳、类比、概括出数学规律；探究体验能激发学生积极地思考，能激发学生探索和创造欲望，寻找问题的答案；也只有通过探究活动得到的结果才是终身难忘的。亚里土多德曾说：“思维从惊讶和问题开始”。利用网络中许多学习资源，构建探究情境，产生疑惑，激发兴趣，引起学生探究。心理学家皮亚杰研究认为，当感知的信息与现有认知之间出现适度的冲突时，人的兴趣最大。苏霍姆林斯基曾说过：“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者”。打开网站 http:／／www.towerofhanoi.net／，进行汉诺塔的探究体验，找到迭代关系。

汉诺塔是一古老的传说。印度一圣庙里一块铜板上，有3根宝石针，左边针上有64块金片，从小到大叠放，如图5，俗称梵塔。移动金片，每次一块，且小的总在大的上面。当64块金片全部从左针移到右针时，世界的末日来临了。即历史上曾经所谓的“世界末日问题”。

图5

设金属片有n块时操作的次数为f(n)。通过汉诺塔的金片数n＝1，2，3，4……探究归纳发现，操作的次数满足条件：

通过迭代计算发现，搬完64块金片至少需要18,446,744,073,709,551,615次。假设搬运者每秒移一片，中间不停顿，大概需要584,942,417,355年，即不少于5000亿年。利用网络中的神话故事，通过历史文化进行汉诺塔问题的探究体验，学生既感受数学问题的历史悠久，又体验到数学文化的神韵；既了解了迭代的原型，又欣赏了人类的智慧。最后，学生还发现，汉诺塔的“世界末日的问题”，真是杞人忧天。

四、掷抛硬币：主题体验

主题体验也是常用的学习形式。数学知识是社会的，人能在社会、历史和文化情境获得数学经验，学生通过自己的数学经验主动地构建知识的意义（Paul，1998）。基于网络教室，通过电子白板围绕主题链接全球的网络资源进行学习。通过悠久的历史案例，经典的文化名题，可在网络情境中学习，丰富知识的经验，在文化氛围中构建知识的意义，丰富知识的历史文化内涵。围绕蒲丰掷硬币的主题，链接相关网页，讨论学习关于硬币的历史故事、硬币游戏、相关悖论及评述，进行掷抛硬币的主题学习。

图6

硬币是生活中常用来方便购物的钱币。硬币被数学家用来揭示随机事件的规律。感到可笑的是，有人将施政视为游戏。曾传说一国王还利用掷抛硬币决定政令。不过，这也说明人类很早就有了硬币掷抛游戏。通过网上掷硬币游戏、数学家掷抛硬币的激情、困扰赌徒的硬币悖论等主题学习，让学生理解随机规律，体验历史文化。

图7

首先，利用网络（http:／／www.wlcxx.cn／article／view19664.aspx）展示德.摩根、蒲丰、皮尔逊等历史上著名的数学家醉迷于掷抛硬币的经典游戏活动。如图6，这些游戏无一例外地验证了，正面朝上的频率趋向于。数学家的探究精神令人钦佩。

其次，如图7，利用网络（http:／jpk.whut.edu.cn／web20－2004／sucaiku／GaiLvLun／Dynamic／Html／01.htm）展示抛 掷硬币的经典游戏画面。通过直接参与，学生观察正面出现的总数、频率及其变化，形成随机的观念，并获得概率概念的直接体验。

然后，链接网页 http:／tieba.baidu.com／p／1234455275芽pn＝1＆v＝0引出困扰拉斯维加斯赌徒的硬币悖论：

赌玩猜硬币正反的游戏，假定硬币正常，赌一次正反先交1000美金，猜对得2000，猜错分文不得，这个赌徒连猜3次正面，结果都是反面。此时，这赌徒只剩下最后1000美金。他陷入沉思，第四次猜正面还是猜反面，才有可能赢。

猜反面：既然没有做过手脚且质地均匀，那么，每次出现正面或反面的概率都是，再说，硬币也不会记得前一次的结果呀。

……于是乎，正面？反面？不知所措！！！

于是，引起人们对拉斯维加斯硬币悖论激烈的争吵。

通过掷抛硬币的主题学习，不仅能让学生认识到数学的经典，而且还能体验到人类文化的精致，以及人类高超的智慧。正如德国数学家普林斯海姆说，数学知识，其价值不仅在于它是一种有力的工具，同时，还在于数学自身的完美。在数学的内部或外部的延伸、应用中，我们看到了最纯粹的逻辑思维，以及最高级的智能活动。是的，我们看到了伟大的人类，也正在创造人类的伟大。

五、教学体会

网络上的经典案例是数学课堂进行体验学习的重要资源。将高尔顿钉板试验、汉诺塔的探究活动、掷抛硬币的主题及七巧板拼图游戏引入课堂，不仅可获得知识，丰富经验，而且能实现网络交互，增加了动手的机会，利用活动操作进行参与式的学习，获得了活动性经验；特别是，网络中经典的文化案例，悠久的人类历史，营造了浓郁的文化氛围，传递了人类文化，使学生有了特别好的文化体验，全方位地丰富了学生的知识、情感。信息化在教育中发挥的作用越来越大，发挥网络资源的交互性、直观性、信息共享等优势，可超越时空，师生足不出户，就可分享全球信息。

[1]黄荣怀.教育信息化助力当前教育变革:机遇与挑战[J].中国电化教育,2011,(1).

[2]佘纯洁等.杭州师范学院学生网络学习的调查分析[J].文教资料,2007,(5).

[3]陈良.文化的教育作用[J].现代教育论丛,2009,(7).

[4]张豪锋等.论网络学习中的意义交互[J].河南师大学报(社科版),2008,(5).

[5]谢幼如等.基于问题的网络课堂协作知识建构模式[J].电化教育研究,2010,(1).

[6]Paul Ernest著,齐建华等译.数学教育哲学[M].上海:上海教育出版社,1998.