单向复合材料矩形截面圆柱弹簧的自由振动

郝 颖，虞爱民

（同济大学 航空航天与力学学院，上海200092）

弹簧作为一种重要的机械零部件被广泛应用于生产和生活中的各个领域.随着材料科学的发展，在工程实际中逐渐开始使用复合材料来制备弹簧.但目前复合材料在弹簧制造领域的应用还非常有限，通常只是用来加工板簧，而对于应用范围最广的螺旋弹簧的研发极少［1］，所以必须对复合材料圆柱螺旋弹簧的振动特性进行深入的研究.目前只有很少的文献［2－8］涉及到此类问题.其中最重要的工作就是Yildirm［2］在文献［9］的基础上导出了各向异性材料空间曲杆的运动微分方程，但方程中没有考虑横截面翘曲变形的影响.之后Yildirm［3］应用1阶剪切变形理论和传递矩阵法对簧丝截面为圆形的单向复合材料圆柱螺旋弹簧的自由振动问题进行了研究，分析中考虑了轴向、剪切变形和转动惯量的影响.Yildirm 等［4－5］又以传递矩阵法对层合板构成的复合材料圆柱螺旋弹簧的自由振动问题进行了系统的分析.Temel等［6］基于Timoshenko梁理论采用拉普拉斯逆变换以及余函数法首次研究了由层合板构成的复合材料圆柱螺旋弹簧的强迫振动问题.Çallm［7］研究了各向同性－正交各向异性材料、弹性－粘弹性材料构成的圆柱螺旋弹簧在时变载荷激励下的动力响应.Çallm［8］又研究了非均匀复合材料梁的自由和强迫振动问题.由于上述研究涉及的均为簧丝截面为圆形的圆柱螺旋弹簧，因而无需考虑翘曲变形对自由振动特性的影响.

目前在工程中使用最多的是圆形截面和矩形截面的圆柱螺旋弹簧，文献［10－11］已经研究了各向同性材料非圆截面圆柱螺旋弹簧的自由振动问题，计算表明，翘曲效应对非圆截面各向同性圆柱螺旋弹簧的固有频率有着重大的影响，在它们的动力分析中必须加以考虑.鉴于目前对复合材料非圆截面圆柱螺旋弹簧理论研究工作的缺乏和均未考虑翘曲效应的情况，本文首先建立了包括翘曲效应的各向异性自然弯扭梁理论，基于文献［12］所建立的翘曲模式又得到了单向复合材料矩形截面杆件圣维南扭转翘曲函数的解析表达式.在此基础上，进一步导出了单向复合材料非圆截面圆柱螺旋弹簧的运动微分方程，由14个1阶偏微分方程组成.方程中不仅考虑了各种经典效应的影响，而且首次考虑了簧丝截面翘曲变形的影响.在增加了广义翘曲坐标和广义翘曲力矩2个自由度后，方程呈现出很强的刚性，因此文献［13］的方法已不再适用.本文采用文献［14－15］中改进的Riccati传递矩阵法来对弹簧的运动微分方程进行求解.

1 考虑翘曲效应的各向异性自然弯扭梁理论

1.1 几何关系和广义胡克定律

设各向异性自然弯扭梁横截面形心的轨迹是1根连续的空间曲线，曲线l的切线、主法线和次法线单位矢量分别用t，n，b表示.为了考虑梁的初始扭曲，引入直角坐标系x1ξη，如图1所示.x1轴与曲线的切线t重合，ξ轴与曲线主法线n之间的夹角记为θ，是弧坐标s的函数.用iξ和iη表示Oξ和Oη方向的单位矢量，则［16］

式中：上标撇号表示对弧坐标s的微分.kξ＝k1sinθ，kη＝k1cosθ，ks＝k2＋θ′，k1，k2分别为曲线的曲率和扭率.

线弹性复合材料的广义胡克定律定义如下：

图1 各向异性自然弯扭梁的几何关系Fig.1 Geometry of naturally curved and twisted beams for anisotropic materials

式中：σ1＝σs，σ2＝σξ，σ3＝ση，σ4＝τξη，σ5＝τsη，σ6＝τsξ，e1＝ess，e2＝eξξ，e3＝eηη，e4＝2eξη，e5＝2esη，e6＝2esξ，σs，σξ，ση，τξη，τsη和τsξ分别为杆件内任意一点的3个正应力和3个切应力；Cij为刚度系数，i＝1，2，…，6，j＝1，2，…，6；ess，eξξ和eηη分别为相应方向的线应变，2eξη，2esη和2esξ分别为3个坐标平面内的工程切应变.根据经典层合板理论［17］，应力σi与应变ej的关系可以简写为

式中，系数Qij的表达式参见文献［2］.

1.2 广义应力－应变方程

对于单向复合材料，经计算可得Q15＝Q51＝Q16＝Q61＝Q56＝Q65＝0.如果假设ξ，η轴为横截面的形心主轴且不考虑杆件的初始扭曲，则有惯性积I23＝0，kξ＝0.根据文献［16］并利用式（3），梁的内力和内力矩可以表示为

式中：A为横截面面积；和εη为杆轴上一点沿3 个方向的线应变；ωs，ωξ和ωη为杆轴单位长度的3 个相对转角；φ 为圣维南扭转翘曲函数；α为广义翘曲坐标；Gξ和Gη为截面的剪切形状因子.式 中

引入广义翘曲力矩的概念，其定义为

1.3 运动微分方程

自然弯扭梁在考虑翘曲效应情况下的运动微分方程可以改写为［16］

式中：ρ为材料密度；ps，pξ，pη分别为沿轴向和ξ，η方向单位长度的分布力.

式中：I1＝I2＋I3，ms，mξ，mη分别为绕轴线s和绕ξ，η 轴单位长度的分布力矩.广义翘曲力矩T（s，t）对弧坐标s的1阶导数则为

1.4 单向复合材料矩形截面杆件的扭转翘曲函数

注意到上述方程中有许多对翘曲函数求导或者求积的项，为了考虑横截面的翘曲变形对圆柱螺旋弹簧振动频率的影响，必须得到单向复合材料矩形截面杆件翘曲函数的解析表达式.设单向复合材料矩形截面杆件如图2所示，2a，2b分别表示矩形截面的宽度和高度.记α2＝Gxξ／Gxη，γn＝nπ／2a，cn＝，其中Gxξ，Gxη分别为Oxξ和Oxη平面内的剪切弹性模量.根据文献［12］的扭转翘曲模式可以导出其翘曲函数为

图2 单向复合材料矩形截面杆件示意Fig.2 Schematic diagram of unidirectional composite bars with rectangular cross－section

2 单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧的运动微分方程

将式（4）～（6）中的线应变和相对转角用6个位移函数代入，再对式（4）～（6）联立进行求解，可以得到各位移函数和广义翘曲坐标对s的1阶导数的表达式，然后将这个结果代入式（9），最后组合式（7）、式（8）（令ps（s，t）＝pξ（s，t）＝pη（s，t）＝ms（s，t）＝mξ（s，t）＝mη（s，t）＝0）、式（9）和7 个1 阶导数的表达式即可得到单向复合材料非圆截面圆柱螺旋弹簧的运动微分方程，由14个1阶（关于弧坐标s）偏微分方程组成.

如图3所示，圆柱螺旋弹簧的几何关系为h＝

式中：h为弹簧的节距，R为圆柱螺旋线的半径，α－为螺旋角，dβ为微角元素.

假设簧丝截面为矩形的圆柱螺旋弹簧作圆频率为ω的简谐运动［10］，则上述运动微分方程中许多和翘曲函数有关的积分项为零.利用ds＝cdβ，则上述

图3 圆柱螺旋弹簧的几何关系Fig.3 Geometry of a typical cylindrical helical spring

在增加了广义翘曲坐标和广义翘曲力矩2个自由度后，微分方程组呈现出很强的刚性，因此文献［13］的方法已不再适用.本文采用文献［14］和［15］中改进的Riccati传递矩阵法对方程组进行求解.

3 数值算例

设两端固支单向复合材料圆柱螺旋弹簧的材料（T300／N5208）和 几 何 性 质 分 别 为：E1＝181.000 GPa，E2＝E3＝10.300GPa，G12＝G13＝7.170GPa，G23＝3.433GPa，μ12＝0.28，ρ＝1 600kg·m－3，其中，E1，E2，E3分别为材料在1，2，3弹性主方向上的弹性模量，G12，G13，G23分别为1－2，1－3，2－3平面内的剪切弹性模量，μ12为单独在2方向作用正应力而无其他应力分量时1方向应变与2方向应变之比的负值，称为泊松比.矩形截面沿ξ方向的边长为2a，沿η方向的边长为2b.圆柱螺旋弹簧半径R，有效圈数n，螺旋角α－，Gξ＝Gη＝0.842.

3.1 算例1

取R＝5.0mm，n＝4，α－＝5°，2a＝1.0mm，2b＝0.4mm，在对该弹簧进行有限元分析时，将其划分成720个Solid46实体层合单元.表1综合了考虑与忽略翘曲影响得到的计算结果和有限元的结果.

正如表1所示，翘曲变形对单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧的固有频率有着重大的影响.可以证明考虑翘曲后弹簧的扭转刚度降低，所以求得的频率也随之减小.不考虑翘曲变形时，计算所得前5阶频率的平均误差为35.76%～45.05%，而考虑翘曲变形时，计算所得平均误差为1.32%～2.16%.显然，在考虑了翘曲效应后用本文方法得到的解和有限元结果吻合得很好.

表1 翘曲变形对单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧固有频率的影响Tab.1 The warping effect on frequencies of unidirectional composite cylindrical helical springs with rectangular cross－section

3.2 算例2

令R＝5.0mm，n＝4，α－＝5°，表2给出了宽高比a／b对单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧固有频率的影响.

表2 宽高比对固有频率的影响Tab.2 The effect of the aspect ratio on frequencies Hz

3.3 算例3

令α－＝5°，n＝4，2a＝1.0mm，2b＝0.6mm.表3给出了R对单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧固有频率的影响.

表3 螺旋弹簧半径对固有频率的影响Tab.3 The effect of the radius of cylinder on frequencies Hz

3.4 算例4

令R＝5.0 mm，n＝4，2a＝1.0 mm，2b＝0.6 mm，表4考虑了α－对单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧固有频率的影响.

3.5 算例5

令R＝5.0 mm，α－＝5°，2a＝1.0 mm，2b＝0.6 mm.表5考虑了n对单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧固有频率的影响.

4 结论

在单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧的运动微分方程中首次考虑了翘曲变形的影响，数值结果表明：对于该弹簧而言，翘曲对其固有频率具有重大的影响，是必须考虑的重要因素.

表4 螺旋角对固有频率的影响Tab.4 The effect of helix pitch angle on frequencies Hz

表5 有效圈数对固有频率的影响Tab.5 The effect of helix coil number on frequencies Hz

（1）随着矩形截面面积增大，圆柱螺旋弹簧的固有频率也随之增大.当截面面积相同时，截面的不同放置方式对弹簧的频率几乎没有影响.

（2）随着有效圈数增加，单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧的第2，3阶频率变得越来越接近.

（3）随着螺旋角、有效圈数和圆柱螺旋线半径增大，单向复合材料矩形截面圆柱螺旋弹簧的长度增加，而系统的刚度减小，弹簧的固有频率随之减小.其中，螺旋角的变化对固有频率的影响最小.

［1］ 隋刚，范勇峥，仲伟虹，等.复合材料圆柱螺旋弹簧的制造与实验研究［J］.复合材料学报，2001，18（1）：46.SUI Gang，FAN Yongzheng，ZHONG Weihong，et al.Manufacture and experiment study of composite cylindroid spiral spring［J］.Acta Materiae Compositae Sinica，2001，18（1）：46.

［2］ Yildirm V.Governing equations of initially twisted elastic space rods made of laminated composite materials［J］.International Journal of Engineering Sciences，1999，37（8）：1007.

［3］ Yildirm V.Free vibration of uniaxial composite cylindrical helical springs with circular section［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，239（2）：321.

［4］ Yildirm V，Sancaktar E.Linear free vibration analysis of cross－ply laminated cylindrical helical springs ［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2000，42（6）：1153.

［5］ Yildirm V.A numerical study on the free vibration of symmetric cross－ply laminated cylindrical helical springs［J］.Journal of Applied Mechanics，1999，66（4）：1040.

［6］ Temel B，Çallm F F，Tütüncü N.Forced vibration of composite cylindrical helical rods［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2005，47（7）：998.

［7］ Çallm F F.Dynamic analysis of viscoelastic，anisotropic curved spatial rod system ［D］. Adana： University of Çukurova，2003.

［8］ Çallm F F.Free and forced vibrations of non－uniform composite beams［J］.Computers ＆Structures，2009，88（3）：413.

［9］ Kiral E，Ertepinar A.Studies on elastic rods subject to diverse external agencies－Part III vibrational analysis of space rods［J］.Journal of Pure and Applied Science，1974，55.

［10］ Yu A M，Hao Y.Free vibration analysis of cylindrical helical springs with noncircular cross－sections［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（11）：2628.

［11］ 郝颖，虞爱民.考虑翘曲效应的圆柱螺旋弹簧的振动分析［J］.力学学报，2011，43（3）：561.HAO Ying，YU Aimin.Vibration analysis of cylindrical helical springs considering warping deformation effect［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43（3）：561.

［12］ Xu R Q，He J S，Chen W Q.Saint－Venant torsion of orthotropic bars with inhomogeneous rectangular cross section［J］.Computers ＆Structures，2010，92（6）：1449.

［13］ Yildirim V，Ince N.Natural frequencies of helical springs of arbitrary shape［J］.Journal of Sound and Vibration，1997，204（2）：311.

［14］ 刘保国.一维不定参数结构系统的摄动Riccati传递矩阵方法及其应用［D］.重庆：重庆大学，2002.LIU Baoguo.Perturbation Riccati transfer matrix method for one dimensional structure with parameter uncertainties and its applications［D］.Chongqing：Chongqing University，2002.

［15］ 王正.Riccati传递矩阵法的奇点及其消除方法［J］.振动与冲击，1987，2（22）：74.WANG Zheng.The singularity and its eliminating methods of Riccati transfer matrix method［J］.Journal of Vibration and Shock，1987，2（22）：74.

［16］ 虞爱民，瞿志豪.自然弯曲与扭曲细长梁广义变分原理的研究［J］.上海冶金专科学校学报，1994，15（3）：1.YU Aimin，QU Zhihao.The study of variational principle in naturally curved and twisted slender beams［J］.Journal of Shanghai Technical College of Metallurgy，1994，15（3）：1.

［17］ 沈观林.复合材料力学［M］.北京：清华大学出版社，1994.SHEN Guanlin. Mechanics of composites［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1994.