饲料配方设计上的影子价格

王继华，董恩球

（1.河北工程大学动物科学系，邯郸 056002;2.烟台龙大养殖有限公司，山东 烟台 265231）

目前多数配方师是用线性规划法设计饲料配方[1]，但是研究营养的人常对线性规划的数学原理所知甚少，尤其是其中的影子价格及其灵敏度分析，以至于常见有很多曲解或误用。本文目的是以配方设计示例，由简单到复杂，探讨影子价格及其在饲料配方设计中的意义和作用。

1 影子价格的概念

常有根据原料的可消化干物质或可消化蛋白质含量来评价饲料价格高低者。这种评价标准不合理，因为在线性规划中一种原料的价格高低是相对于可用的原料-市场系统而言的。

根据线性规划模型对影子价格的基本定义，某种原料的影子价格是指：在得到最佳配方后,配方中某种原料的用量增加一个单位，使饲料配方成本增加的量[2]。例如棉粕有毒，在饲料配方中的用量一般要限制。如果在用线性规划法设计好的最佳配方的基础上修改饲料配方，饲料配方中再多用一个单位的棉粕(当然就要相应地降低其他原料的用量)可使配方成本增加-0.05 元/kg，则这个-0.05 元/kg 就是棉粕的影子价格。可由如下简化方式理解[3,4]：

为便于理解影子价格的实际意义，下面举一最简单的配方设计例子。

设有玉米和棉粕两种原料，其粗蛋白含量分别为8.7%和37.0%，价格分别为元/kg 和元/kg。现在要用这两种原料配制含粗蛋白为16%的配合饲料，问：怎样设计饲料配方才能既满足粗蛋白需要又成本最低？

所以我们可把式（3）写为：

把此式代入目标函数式（1）可得：

即

则实践中就可把Δz 当判别式使用。当Δz 为正值时，降低玉米用量 可降低配方成本C；当Δz 为负值时，增加玉米用量就可降低配方成本C。这里的Δz 就相当于一般饲料配方线性规划中的影子价格。

例中，把已知数据代入式（6）可得：Δz ＝1.2－1.5×(8.7÷37)＝0.8473,所以应尽量降低玉米用量 ，这样可降低配方成本。在本例中：取最小值是0,这时不用玉米，而全用棉粕。

2 饲料养分的影子价格

在线性规划的数学理论上，影子价格还包括规划模型右手侧约束值的影子价格，在饲料配方规划模型中就是饲养标准中各养分指标的影子价格。假定在设计饲料配方时考虑的营养指标有 项，例如能量、粗蛋白质、钙、磷、赖氨酸、蛋氨酸等，记为线性规划理论中约束值的影子价格就是指饲养标准中各养分指标的影子价格。根据线性规划模型对影子价格的基本定义，饲料配方中某个营养指标的影子价格指的是，在得到最佳配方后,该营养指标的约束值改变一个单位，导致配方成本的改变量。也可由如下的简化方式理解：

式中C是目标函数，是由于第i个养分指标改变一个单位导致的目标函数的改变量；是第i 个养分指标；是第i 个养分指标的改变量。所以，某种养分指标的影子价格就表示该养分指标对目标函数的影响度。

假设要设计断奶仔猪的饲料配方。要求营养水平为可消化蛋白16.5 g，钙8.7 g，有效磷0.45 g。已知有4 种原料，玉米豆粕骨粉和贝壳粉的价格分别为0.48、0.94、0.75 和0.11 元/kg，它们的养分含量可从《中国饲料数据库》查到。问:4种原料各用多少，才能使配合饲料成本最低，又能满足生长猪对粗蛋白质、钙和有效磷的需要?

这个问题的线性规划模型为:

上述线性规划（LP）问题的对偶线性规划问题可以写为：

试验田于2017年6月9日整地做畦，11日人工播种（行距60 cm，株距25 cm），16日出苗，17日喷灌，21日防治二点委叶娥，23日定苗，24日按设计施基肥。7月15日化学除草，20日玉米螟防治，24日按试验设计追施尿素，9月21日收获。试验期间7月6日、7日、9日中雨，7月14日大雨，7月30日、31日中雨，8月2日大雨，8月13日中雨，8月20日大雨。、

如果矩阵A行满秩，即则A的任一非奇异子矩阵B（即行列式都是LPI 的一个基。把变量的顺序及其相应的系数重新排列，可用分块矩阵记为：

根据对偶定理，原LP 问题的DLP问题有最优解：

3 影子价格的意义

如果B 是线性规划问题LPI 的最优基，DLP 的最优解则求 矩 阵 导 数， 有, 所以变量 的经济意义是：在其他条件不变(最优基也不变) 的情况下，单位养分变化引起的目标函数最优值的改变；或求偏导数表示在其他条件不变时，第i 个营养指标的单位变化引起的配方成本改变量。这说明代表第i 种养分指标在最优决策下的边际价值。

由于影子价格是养分在最优决策下边际价值的反映，所以没有最优决策就没有影子价格。同一养分在不同的原料市场-质量限制和不同决策下影子价格可能不同，因此影子价格是受原料市场和质量本身客观条件制约的。由问题LP 与问题DLP 的最优解之间的关系说明养分的影子价格定量反映了养分在最优决策下应为配方成本（总收益）提供的价值。

上述理论分析表明，影响影子价格的因素主要有：配合饲料产品定位、原料质量、原料市场价格结构和配方设计时的约束条件等。

4 影子价格在饲料配方设计上的应用

4.1 根据影子价格调整饲料配方

原料的影子价格揭示了当增减参与计算的饲料原料时对最终配方成本的影响程度。某原料影子价格的绝对值越大，表明其对配方的最低成本影响越突出；而影子价格为“零”的原料是指其在特定取值范围内，该指标的达成对最低成本不构成影响。从经济上讲，某原料(养分)的影子价格是对每单位该原料在特定条件下最优配置时的边际效益的估价，所以可根据影子价格有把握地调整饲料配方。一般说来，当某原料影子价格为负值时，增加该原料在饲料配方中的用量，可降低配合饲料成本；当某原料影子价格为正值时，降低该原料在饲料配方中的用量，可降低配方成本。

利用EXCEL2000 以后的版本设计饲料配方时，可以在筛选出最低成本配方的同时，直接在原料价格的灵敏度一栏中得到参选原料影子价格的信息。

值得注意的是，设计饲料配方时各原料的影子价格不是固定不变的，当参与规划饲料配方的各种原料的价格、质量、用量限制和饲养标准有任何变化时，各种原料的影子价格都有可能发生变化——也就是说有可能规划出另外一个饲料配方及其影子价格，甚至原来为正的影子价格改变为负的影子价格。

再就是，在设计饲料配方时，影子价格分析只对那些设计饲料配方之前设置了限制用量的饲料原料有实际价值，而那些没有对用量设置限制的原料，其影子价格只有理论意义。因为在优化过程中，已把那些没用量限制的饲料原料用到了最佳量。或者说，规划结果就是在给定的约束条件下，各种饲料原料（包括设置了约束和没设置约束的原料）的最佳配比，也就是最佳饲料配方。

4.2 根据影子价格调整饲养标准

各种养分指标即资源的影子价格，能从量上指导配方师有针对性地调整饲养标准。在配合饲料中最重要的营养指标是能量和蛋白质，其他指标常以这两个指标为基础而定。所以，配合饲料的成本主要取决于这两个指标，及与之相对应的原料。这两个指标常允许在一定范围内变动，即是说，蛋白能量比在一定范围内变化时不影响动物生产性能，所以在设计饲料配方时,可根据影子价格在营养平衡允许的范围内调整蛋白能量比和其他营养指标。

一般可通过计算能量和蛋白质的影子价格大致确定。理论上说，当某养分的影子价格为负值时，可把配方标准中该养分的指标调整到最高限度，当某养分的影子价格为正值时，可把配方标准中该养分指标调整到最低限度。氨基酸指标按理想氨基酸模式中各种氨基酸与蛋白质的比例确定。然而实际与理论常有巨大差异。据笔者经验，在设计饲料配方时，多数养分指标的影子价格都是正数。所以在实践中通常可以遇见的情况是，降低任何一个养分指标都会降低饲料配方的成本，当然，按照营养平衡原则，把全部营养指标都按平衡比例降低时，饲料配方的成本一定是会随着降低的，不用复杂的数学规划。

出现这种现象的原因，一方面是由饲料原料的性质决定，另一方面，是由饲料配方的规划原理决定的。首先，各营养成分不是单独存在的资源，而是以多种成分同时存在于一种饲料原料中，我们不可能孤立地“买”、“卖”或投入某一养分（市场上有售的氨基酸和维生素例外）。其次，在约束的营养成分之间，尤其是能量和其他营养成分间存在密切关系。如果把能量视为依变量，其他营养成分则是自变量。就饲料配方而言，它必须是营养平衡的。只有能量和其他营养成分在配方中保持一定比例关系，这个饲料配方才有使用价值。对于多数饲养标准来说，各营养成分需要量之间的相互关系已经确立。一个合格的配方师在设定营养指标时，已将各养分需要量之间的相互平衡关系考虑在内，只不过是在建立最低成本配方的线性规划模型时，将各营养成分约束条件“简化”或“假设”为独立变量。许多实际问题都是经过简化后，再建立起数学模型，因此，线性规划所提供的数学原理，在用于实际设计饲料配方时，还要注意具体问题具体分析。

不过有时会出现某种养分指标的影子价格为负值。如果根据这个数学分析的结果来调整饲料配方的营养指标，往往导致饲料配方营养不平衡，降低饲料使用的效果，尤其是饲料转化率，这将导致资源浪费。例如，笔者曾注意到精氨酸的影子价格有时为负值，如果仅仅根据数学原理，孤立地提高精氨酸的约束值（而不相应地提高蛋白质、赖氨酸等的约束值），必然导致氨基酸不平衡。

但是对养分的影子价格进行数学分析依然有巨大经济价值，至少对饲料配方设计有理论指导意义。因为家畜对日粮各种养分的需要量及其相互比例不是不可改变的，其中蛋白能量比最有经济价值。例如在仔猪饲料生产中，蛋白能量比（g/MJ）至少可在13～16 之间变化，而市场上蛋白质资源（典型代表是豆粕）和能量资源（典型代表是玉米）的相对价格经常变化，当能量资源贵时就可提高蛋白能量比，当蛋白质资源贵时就可降低蛋白能量比。当然，不同蛋白能量比的饲料会影响采食量甚至料肉比，所以要权衡饲料成本的降低与仔猪性能的关系，根据具体情况作出决策，这就为配方师提供了发挥技术优势的空间。

值得注意的是，饲料配方设计标准中各养分的影子价格也不是固定不变的，会随着各种养分指标的消长而发生位置的更换，或不构成影响的资源变成有影响的，有如人们熟悉的限制性氨基酸顺序的变化。因此还必须研究资源影子价格的有效区间，体现影子价格的相对稳定性。

4.3 根据影子价格评价原料

评价饲料原料的传统方法是计算饲料原料中每种主要营养指标（如蛋白质、限制性氨基酸、代谢能等）的价格，这种方法往往不能表明饲料原料在配方中的真实价值。因为一种饲料原料的实际价值取决于一定的原料质量--价格环境，与其他原料的质量—价格有关，当然还与前已述及的营养指标和全部可用原料的约束条件有关，在规划配方的动态运算中是以各种原料满足约束条件的能力为依据。影子价格指的是原料之间的“相对价格”，即一种原料与另一种或几种原料相互取代所导致的优化配方成本差异。

某个原料的影子价格还受饲养标准的影响，在同一原料质量--价格环境中，对于不同产品定位的配合饲料，某个原料的影子价格可能会有变化。例如，对于营养浓度较高的配合饲料，规划结果可能是选用鱼粉，对于营养密度较低的配合饲料，在同样的原料质量-市场价格条件下，规划结果可能是选用豆粕，甚至是棉籽粕或菜籽粕。

所以，评价某个饲料原料时，最好是把它的质量—价格放在本厂可用原料和产品定位结构中进行分析，或者模拟设计一下饲料配方，根据其影子价格决定是否购入。

饲料添加剂属于饲料原料的一种，完全适合于影子价格分析。不过对于单项添加剂原料，不需要使用线性规划方法就可以评价哪种原料的性价比更好。

5 结论

根据影子价格原理有针对性调整饲料配方，可以有效降低饲料配方成本。

由于配合饲料产品定位、原料质量、原料市场价格结构和配方设计时的约束条件等都可以影响影子价格，所以还需要深入探讨这些因素影响配方设计结果的规律，影子价格的灵敏度分析可以解决一些问题。

表1 玉米理化特性与其养分含量之间的相关系数(r) g/kg

6 线性规划法的重要缺陷

饲料配方的线性规划模型是建立在一些与实际不符的基本假定之上的，例如假定某种饲料原料的某种养分含量、饲料原料的市场价格和配合饲料的质量等都是常数，这与实际不符，所以用线性规划法只能设计出近似最佳的饲料配方。

表1 是玉米的理化特性与其养分之间的相关系数，DE 是消化能，ME 是代谢能，HullS 是玉米皮，KernelS 是去皮玉米，WEF 是玉米胚乳，EEF 是粗脂肪，CP 是粗蛋白，NDF 是中性洗涤纤维，Total P 是总磷，TNSP 是总NSP，INSP 是IF（不可容性NSP），SID 是标准回肠消化率。

饲料配方规划时的养分数据误差，主要来自配方中量大的主要组分的营养素数据取值。说白了就是玉米（占50%～70%）和大豆粕（占15%～20%）的营养指标数据取值。一般而言，粗蛋白质可以造成正负1%的误差，能量可以造成正负1 MJ/kg 的误差。

还有饲料原料的消化率，尤其是某种饲料原料的特定养分的消化率，受仔猪状况、饲料原料和饲养管理条件等因素影响巨大，也不是常量，而是随机变量。

而线性规划方法的基本假定是饲料原料养分数据矩阵A，饲养标准向量b和饲料原料价格向量C都是常数，暗含的基本假定就是：

根据上面的分析，这些假定显然是不成立的。这就是说，线性规划方法设计饲料配方，在理论上存在着原则性的缺陷。为了解决线性规划法在设计饲料配方时的不足，可以采用随机规划法[5]，以某种概率保证设计的饲粮能满足动物的营养需要[6]。

[1] 王继华，范聚芳，董瑞玲.制定饲料配方数学方法的发展[J].兽药与饲料添加剂，1999,4(1):35-36.

[2] Rao S S.工程优化原理及应用[M].祁载康，等译.北京:北京理工大学出版社,1990.

[3] 王继华，张乐颖，梁立军.影子价格/灵敏度分析与饲料配方调整[J].邯郸农业高等专科学校学报,2005，22（1）：1-4.

[4] 熊易强.饲料配方中影子价格的定义及其应用[J].饲料工业，2006，27（23）:1-5.

[5] 王继华,邢海军,张凤仪.饲料配方模糊规划和随机规划原理[J].邯郸农业高等专科学校学报,2003，20（2）：1-4.

[6] 王继华，王绥华，吴秀存，等著.仔猪饲料配方设计高级技术[M].北京：中国农业大学出版社，2012.