基于知识结构的教学改进——矩形判定探究教学片段的思考与改进

● (海盐县教研室 浙江海盐 314300)

基于知识结构的教学改进——矩形判定探究教学片段的思考与改进

●沈顺良(海盐县教研室 浙江海盐 314300)

《新课标》提出：教学中要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.在一次教研活动中，笔者和同仁们对矩形判定教学的2个片段展开了讨论并进行了相应的改进，本文试将原来的教学片段、讨论与思考、改进后的教学作一个呈现.教学内容为浙教版《数学》八年级下册第6．1节矩形第二课时(矩形判定).

图1

1 知识回顾

1.1 原来的教学片段

师：如图1，前面我们学习了矩形的性质，矩形有哪些性质？

生：矩形的4个角都是直角，矩形的对角线相等.

师：矩形的定义又是什么？

生：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

师：其中包含了哪2个条件？

生：一个角是直角、平行四边形.

师：今天我们就来学习矩形的判定.

1.2 讨论与思考

上述的知识回顾已经把前面已学的矩形定义和矩形性质复习了，这也是知识复习的明线索.然而作为几何中四边形的教学，各类四边形的研究还遵循着2条暗的线索：一是从基本几何图形的定义到性质再到判定，其中性质定理和判定定理包含着互逆的内在关系；二是从角、边、对角线的角度分别研究.因此，在复习中还需激活研究几何图形的线索和研究的内容结构，然后通过类比来得到需要研究或学习的目标.

1.3 改进后的教学片段

师：前面我们学习了平行四边形，平行四边形是按照怎样的线索或流程来学习的？

生1：首先是它的定义，然后是它的性质定理，再是它的判定定理，最后是定义、性质定理、判定定理的运用.

生2：这与以前学习的三角形是相似的.

师：对.生2回答得很好，我们现在学习四边形与前面我们学过的三角形有很多相似之处，研究的角度类似，研究的对象也相似，学习三角形时从一般三角形到逐步加上条件研究特殊三角形.平行四边形性质定理和判定定理的条件和结论都是从平行四边形的哪些角度来研究的？

生3：主要是从角、边、对角线这3个角度来考虑的.

师：上一节课我们开始学习一类特殊的平行四边形——矩形，按照这样的线索我们学习了什么？分别是怎么样的？

生4：学习了矩形的定义和性质，定义是有一个角是直角的平行四边形是矩形，性质定理有2条：矩形的4个角都是直角，矩形的对角线相等.

师：对.其中明显地体现出矩形是以平行四边形为基础，从角、边、对角线的角度来研究的.能否说说接下来我们该研究矩形的什么方面？

生4：研究矩形的判定.

师：对.

(教师出示课题.)

……

点评上述复习过程中注重了研究几何图形的方法、结构线索的激活和引导，学生自然运用类比来整理学过的知识，在理解其内在结构联系的同时明确了学习的目标.研究角度的引导也为后面的判定定理探究作好了铺垫.对于生2的回答，教师的及时评价很好地引导学生从三角形的知识结构类比到四边形的知识结构，也为矩形之后学习菱形、正方形作了准备.

2 探究教学

2.1 原来的教学片段

师：如何判定一个平行四边形是矩形？如何判定一个四边形是矩形？

生：用定义来判定，即2个条件：一个角是直角、平行四边形.

师：还有什么方法可以判别一个四边形是矩形？你能从角的角度来考虑吗？

图2

生：有3个角是直角的四边形是矩形.为什么？

师：有2个角是直角的四边形是矩形吗？你能画个图说明吗？

生：有2个角是直角的四边形不一定是矩形的(如图2).

师：那四边形有4个直角呢？为什么只要3个角是直角呢？

生：四边形内角和为360°，有3个直角就是4个角都是直角了.

师：还有其他判定平行四边形是矩形的方法吗？你能否从对角线的角度来考虑呢？

生：对角线相等的平行四边形是矩形.

师：对.判别矩形的方法有几种？

生：3种:利用定义、3个角是直角和对角线相等.

师：如何判定这些方法是正确的？

……

2.2 讨论与思考

判定方法的探究为什么是在四边形或平行四边形的基础上去思考？为什么是从角是否是直角、对角线长度是否相等的角度来考虑？上述过程其实是教师牵着学生走，更多地关注了探究结果的得到而不是探究过程引导下的自然获得.其实判定定理与性质定理存在着互逆的关系，其条件和结论有密切的内在联系，是否可以从它们之间的关系来引导?另外作为判断特殊几何图形的条件，能否借助多媒体的直观来辅助?

2.3 改进后的教学片段

师：研究平行四边形的性质和判定是在什么几何图形基础上的？

生5：是在四边形的基础上.

师：现在我们研究矩形应该是在什么基础上呢？

生5：四边形和平行四边形.

师：是的.判定和性质都是从哪些角度去研究？

生6：与前面类似，从角、边、对角线的角度去研究.

师：矩形的判定定理和性质定理有什么联系？

生7：应该是倒过来的，一个是以矩形为条件的，另一个是以矩形为结论的.

师：对.它们是互逆关系.上节课我们学习了矩形的性质定理，你是否可以从性质定理的逆命题角度探索呢？

生8：我有2个猜想：4个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形.

师：你们觉得这2个猜想正确吗？

生9：第一个猜想是正确的.因为2组同旁内角互补，能得出2组边的平行，即是平行四边形，再加上一个角是直角,由定义得到是矩形.

生10：我觉得可以将第一个猜想中的条件改为3个角是直角的.因为四边形内角和是360°，3个角是直角其实就是4个角是直角.

师：对.那么能否将条件再改为2个角是直角？

生10：不能，我可以画个图说明(如图2).

师：很好.这样我们得到了矩形的一个判定定理：有3个角是直角的四边形是矩形.那第2个猜想正确吗？

生11：不正确,我可以画个图说明(如图3).

(教师在多媒体上通过几何画板演示说明.)

图3

生11：在第2个猜想中加上条件：对角线互相平分就可以了，即对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

师：我们可以通过几何画板来呈现该结论是否成立.

(教师在多媒体上设定对角线相等且平分，演示四边形动态图形.)

生12：第2个猜想是在四边形基础上的，若改为平行四边形的基础就可以了，也就是对角线相等的平行四边形是矩形.

师：为什么可以这样改动呢？

生12：对角线平分的四边形本身就是平行四边形.

师：对.这样我们得到了判定矩形的另一个判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.下面请大家分别对这2个判定定理加以证明.

……

点评通过前后知识关系的引导，让学生能类比三角形中从一般到特殊的知识结构，四边形也是从一般四边形到特殊四边形，即在四边形和平行四边形的基础上研究矩形，从而让学生明确了在四边形或平行四边形中增加条件使之成为矩形.通过前面研究角度的铺垫和性质与判定互逆的关系，自然引导学生从逆定理的角度获得了2个与判定定理相近的猜想，再加以多媒体的辅助探究，学生真正参与了矩形判定得到的过程.在此过程中同时渗透了类比、互逆的思想，也为学生后续学习其他特殊四边形打下了知识和方法的基础.

初中数学《新课标》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”4个学习领域，每个领域中的知识都是相互关联的.四边形是继三角形后的教学内容，其内容的安排次序类似于三角形.从研究的几何图形看是从一般图形到特殊图形，即一般四边形到特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形);从各图形研究的次序看都是先有定义，再有性质，然后是判定，最后是运用;从研究的角度看都是角、边、对角线.根据这样的知识结构特点，矩形教学中应该充分利用其密切联系,通过类比来引导研究，其中包括研究的内容、次序、方法等，这样的教学既有利于新知识学习过程中的探究引导，也有利于学生对知识的理解和前后知识网络的构建，也有利于后续知识的学习.