扩频映射编码中伪随机序列的性能研究

李苏阳，全厚德，崔佩璋

（军械工程学院，河北 石家庄 050003）

0 引 言

在扩展频谱技术中，具有伪随机特性的序列往往用于生成随机跳变的调制信号相位（DS）或者载波频率（FH），将给定信号的频谱扩展至占用很宽的频带。在越来越多的场合如信道带宽受限时，扩频映射编码具有很高的应用价值。美国的联合战术情报分发系统（JTIDS）就采用扩频映射编码技术[1]，经编码后，伪随机序列用于代表消息符号。其相关特性对于扩频系统具有重要的意义，这使得码型选择显得尤为重要。为了寻求适合扩频编码映射的伪随机序列，本文介绍了平衡Gold序列、循环移位m序列和移位正交m序列，并对其相关特性进行了分析。研究三者作为扩频码时的最小码距及其对纠错性能的影响，指出码长、携带信息数和抗干扰能力的关系。

1 几种伪随机序列

1.1 m序列

m序列是最常用的一种伪随机序列[2]。用于产生m序列的n级线性移位寄存器结构由GF（2）上的n次多项式给出

当f（x）为本原多项式，移位寄存器所产生的非零序列即为m序列。n阶移位寄存器生成的m序列的周期为N=2n-1。本文主要介绍相关特性。若m序列是（+1，-1）的二值序列，其归一化自相关函数为

由式（2）可知，随着m序列长度N的增大，-1/N越接近于0。自相关函数越接近于δ函数，m序列和白噪声的相关特性越相似。

图1 N=31的m序列的自相关特性

N=31的m序列的自相关特征见图1，可以看出尖锐的自相关峰值很容易区分m序列与其时间偏移序列（移位序列）。

1.2 循环移位m序列

利用m序列优良的自相关特性，构造一类序列集合[3]。通过码长为N的m序列在一个周期内每次循环移位C个码片构成一个移位m序列集，集合内序列数目小于N/C的最大整数。以码长N=63的某一m序列

为例，取C=3，构造的序列集为

其中：

即m序列在一个周期内每次循环移位3个chip构成一个新码集，其中序列数为N/C。

1.3 移位正交m序列

当相位偏移量k=0时，序列集合中各码字两两之间的互相关值为0，故称之为移位正交m序列。N=63的移位正交m序列的自相关特性如图2所示。可以看出，移位正交m序列具有尖锐的自相关特性，在相移量k=0时，自相关函数值达到最大。

图2 N=63的正交移位m序列的自相关特性

1.4 Gold和平衡Gold序列

Gold序列是m序列的复合码，它由两个码长、码率都相同的m序列优选对模2的和组成。Gold序列具有较好的自相关和互相关特性，但是其周期自相关函数在非零点也是三值的，这一点不如m序列。Gold序列的相关特性见图3。

Gold序列族中的非平衡序列，将产生明显的直流分量，导致频谱图中载波处存在很大峰值，存在载波泄露问题。平衡Gold序列[4]指的是码字中‘1’的个数比‘0’的个数多1的Gold序列。寄存器阶数n为奇数时，Gold序列族中平衡序列约占50%；n为偶数时占75%，n为4的倍数时不存在三值性，也就不存在Gold序列[5]。

2 扩频映射编码原理

在扩频映射编码中，伪随机序列用于代表消息符号，调制后直接发送，基本原理如图4所示。扩频映射码集由M个长为N的码字PNj，j=1，2…，M组成，这些伪随机码相互正交，分别对应k位信息码的M个状态。每个码字传输k=log2M个比特信息。在信息速率一定的情况下，采用扩频编码后的系统带宽仅为传统扩频系统的1/k。实际上，扩频映射编码是一种（N，k）分组编码[6]，其为系统带来扩频增益的同时，又带来了编码增益；因此，在一定的条件下如带宽受限时，采用扩频映射编码可以优化误比特性能。

图3 Gold序列的相关特性

图4 扩频映射编码原理图

2.1 差错概率分析

通常伪随机序列不是严格正交，不满足式（11）所示。但是如果其具有良好的相关性能，可以近似认为它们具有正交性或准正交性[7]。设M个扩频码PN1（t），PN2（t），…，PNM（t）具有良好的相关特性

当前发送端根据信息数据d（t）从M个扩频码中选择了伪随机码PNj（t）进行扩频映射。经BPSK调制后的发射信号为

由于信道中的高斯白噪声干扰，接收端的接收信号为

式中：n（t）——具有0均值、双边功率谱密度为N0/2的高斯白噪声。

rj（t）经载波解调后分别送入M个使用不同伪随机码的解扩相关积分器。本地相关器中的解扩信号为

设当前收发双方已取得同步，第i条支路的输出为

i=j时，前一项服从广义瑞利分布；不相关时，服从瑞利分布，概率密度函数分别是

由式（11），得

接收方选定最大相关输出的支路，该支路的本地扩频码为当前时刻的扩频码。第j条支路检测正确的概率为

若n（t）是0均值，双边带功率谱密度为N0/2的高斯白噪声，则fi（t）正确解调概率为

则系统误码率为

T为PNj（t）的自相关峰值，则误比特率为

由式（15）、式（20）及式（23）可以看出，伪随机序列的相关特性对于误比特率具有重要的意义。

2.2 编码分析

软扩频实质上是一种（N，k）的分组编码，其纠错能力直接与构造的码集的最小码距d0有关[8]。二进制（N，k）分组码中共有2N个可能的比特组合，每一个对应码空间中的一个点。其中2k个组合对应着真实码字，码字间的最小距离为d0。其他比特组合位于真实码字周围的校正球内。校正球的半径为（d0-1）/2，接收码型只要位于真实码字的校正球内就可以纠正错误。这种码型可以纠正（d0-1）/2个错误。经计算，上述3种码型的最小码距如表1所示。

表1 几种伪随机码集的最小码距

可见移位正交m序列集和循环移位m序列集具有同样的最小码距d0，略优于平衡Gold序列集。

由此可以推断：在相同信噪比条件下，移位正交m序列集和循环移位m序列集作为扩频码时，系统误码率基本相同，而平衡Gold序列集的误码率较高。

3 仿真分析

为进一步研究以上3种序列的纠错性能，建立扩频映射编码系统进行仿真分析。数据信息经串并变换，每k bit映射为一条N长的序列。经过BPSK调制后进入AWGN信道。接收信号与多路的伪随机序列相关运算。取最大相关支路的伪随机序列进行解扩译码，恢复k bit信息。最后与源数据对比，统计误码率pb。信噪比为ec/n0dB，ec是序列中单个码片的能量。

图5是N=7（移位正交m序列N=8），k=2和N=31（移位正交m序列N=32），k=1时循环移位m码和移位正交m码的误比特率比较。由表1知，N=7的循环移位m码和N=8的移位正交m码的最小码距d0=4；N=31的循环移位m码和N=32的移位正交m码的最小码距d0=16。

由图5可见，对具有相同最小码距（d0=4和d0=16）两组扩频编码集合，纠错特性基本一致，误比特率几乎相等，这与编码分析的结果一致。故后续的分析只选取循环移位m码作为代表。

图5 循环移位m码和移位正交m码的纠错特性

图6是N=7和N=31的平衡Gold序列和循环移位m序列的误比特率（每条伪随机序列携带信息码元数k=1）。查表1知，N=7时循环移位m序列集的最小码距d0=4，平衡Gold序列集的d0=2。

图6 k=1,平衡Gold码和循环移位m码的纠错特性

由图6可见，循环移位m序列的性能要优于平衡Gold序列。扩频码长N=7，误比特率pb=0.2时，循环移位m序列比平衡Gold序列节省4dB左右的功率。可见伪随机序列相关特性越好，构建的扩频编码集合最小码距越大，纠错性能就越好。另外还可以看到，对同一种码型而言，k相等时，扩频码长N越大纠错性能越好。

选取N=31的循环移位m序列。图7表明，N固定而k增加时，误比特率逐渐上升。即扩频因子N/k越大，纠错特性越强；因此，扩频因子是衡量系统特性的重要指标。

图7 N=31，k取不同值时，循环移位m码的纠错特性

4 结束语

本文介绍了平衡Gold序列、循环移位m序列、移位正交m序列的概念、性质和构造方法，说明平衡Gold序列、循环移位m序列、移位正交m序列具有良好的相关特性。并计算了3种码型集合的最小码距，分析扩频映射编码的纠错原理和方法，对上述3种码字的纠错能力进行了比较，说明了扩频码长N、信息比特数k和误比特率pb的关系。

相比于平衡Gold序列，循环移位m序列和移位正交m序列更加优越。从本文的研究可以看出，m序列及其位移序列编码技术具有构造较为方便、抗干扰能力强等方面的诸多优点。

[1]申振宁，曾兴雯，周子琛，等.JTIDS系统仿真与性能分析[J].计算机仿真，2005，22（2）：23-25.

[2]陈海龙，李宏.基于Matlab的伪随机序列的产生和分析[J].计算机仿真，2005，22（5）：98-100.

[3]段少华.准同步CDMA及其新扩频码设计[J].系统工程与电子技术，2000，22（8）：37-40.

[4]张怡，杨舸，蔡毅.基于编码扩频的DS/FH混合扩频同步技术研究[J].计算机测量与控制，2010，18（2）：428-481.

[5]杨晓，杨凯.基于Matlab的扩频序列码仿真实现[J].弹箭与制导学报，2005，23（3）：568-572.

[6]曾孝平，王宇峰，刘劲.软扩频技术及其编码与性能分析[J].重庆邮电学院学报，2001（6）：22-25.

[7]褚振勇，应小凡，田红心，等.一种双正交循环码M元扩频接收机性能分析[J].西安电子科技大学学报，2004，31（6）：850-854.

[8]Proakis J G.Digital Communications[M].New York：Mc-Graw Hill，2001.