Banach空间上可微泛函渐近临界值的某些性质

薛亚芬,耿 堤

(华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631)

Banach空间上可微泛函渐近临界值的某些性质

薛亚芬*,耿 堤

(华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631)

用Ekeland渐近变分原理证明了Banach空间上连续可微泛函渐近临界值的某些性质, 推广了有关强制性的结果.

Ekeland变分原理; 泛函的渐近临界值; Palais-Smale条件; 强制性

Ekeland渐近变分原理[1]在非线性分析和偏微分方程等数学分支中发挥了重要的作用,多方面得到推广和应用,可参见文献[2]和文献[3]及其所引用的参考文献.本文利用Ekeland渐近变分原理, 证明了泛函渐近临界值(定义见后)的某些新性质.进而在更弱的条件下, 证明了泛函在无穷远具有强制性,并且关于强制性的细节, 建立了更多的结果.

设f是完备度量空间(E,d)中的泛函不恒等于正无穷,α为任意取定的一个正数.

αd(x,y)≤f(x)-f(y),

(1)

且y还是泛函fy(v)=f(v)+αd(v,y)在E中的全局极小值点, 即

(2)

以下总假设所讨论的泛函f在Banach空间X中是Fréchet可微的.设A是X的非空子集,记

我们的主要结果是用泛函f在A中的下确界与某邻域中的下确界,估计某些点的Fréchet导数.

(3)

(4)

且

(5)

利用f(x)

‖x-y‖

y即为所求.

注1 如果dist(x,XB)是有限数, 可以取r=dist(x,XB).

则由定理1可得如下的结论:

(6)

(7)

为研究f的临界值的渐近性质, 引入如下概念:

定义1 (i) 称点列{un}⊂X是泛函f的Palais-Smale序列,如果{f(un)}有界且f′(un)→0.

(iii)c称为是泛函f的渐近临界值, 如果存在点列{un}⊂X, 使得f(un)→c且f′(un)→ 0;如果进而还有‖un‖→∞,c称为是泛函f在无穷远的渐近临界值.

若函数mA(r)有好的性质, 则可以导出f(u)的渐近临界值的存在性.以下是本文的另一主要结果：

定理4 设f在X的非空子集A的某个邻域中下方有界. 如果mA(r)在r=0的Dini右下导数为零, 即D+m(0)=0, 其中

(8)

证明由D+m(0)=0, 我们知道存在一列rj>0, 使得rj>rj+1, 且当j→∞时,rj→0,

且‖xj-yj‖

f(yj)→mA, ‖f′(yj)‖→0.

对于r趋向于无穷远的情形, 有如下的结论:

定理6 设{Rj}是一列严格增加趋于正无穷的正数. 如果

(9)

则f(x)有一个趋于无穷远的(PS)序列, 即存在X中的点列{uj}, 使得当j→∞时,

‖uj‖→∞,‖f′(uj)‖→0.

证明取一列正数δj>0, 使得当j→∞时, 有δj/(Rj+1-Rj)→0, 则

利用定理5即可得到所欲求.

作为定理6的一个实际应用,给出如下的结果, 其中有关强制性的结论最早见于文献[4],是用形变引理证明的.在文献[2]中, 用Ekeland变分原理得到一个新证明. 这里是在更弱的条件下给出了加强的结论.

定理7 设f是X中下方有界的泛函. 如果f的每个Palais-Smale序列都存在有界的子列, 则f具有强制性, 即

f(u)→+∞,当‖u‖→∞.

进而, 或者存在正数a>0和R>0, 成立

f(x)≥a‖x‖,当‖x‖≥R;

或者存在一列点{un}⊂X, 使得当n→∞时, 成立

‖un‖→∞且‖f′(un)‖→0.

证明如若不然,f不具有强制性, 则m(r)上有界. 又m(r)单调不减, 即得到当r→+∞时,m(r)→A<∞. 因此

不难看出f(un)→A, 因此{un}是f的Palais-Smale序列, 但由‖un‖→∞知{un}无有界的子列, 此与所设相矛盾. 故必有

由此不难得知

m([‖u‖])≥2a·([‖u‖]-1)≥a‖u‖,

其中[c]表示不超过c的最大整数.

‖uj‖→∞且‖f′(uj)‖→0.

{uj}即为所求.

注4 上述结论中的最后2个断言并非是相斥的，例如在中的泛函f(x)=(x+sinx)2满足Palais-Smale条件, 既是强制的且增长是超线性的, 又在无穷远有无穷多个临界点.

[1] EKELAND I. On the variational principle[J].J Math Anal Applic, 1974,47:324-357.

[2] BRÉZIS H,NIRENBERG L. Remarks on finding critical points[J].Comm Pure Appl Math,1991,64:939-963.

[3] SUZUKI T. Generalized distance and existence theorems in complete metric spaces[J]. J Math Anal Applic,2001,253: 440-458.

[4] CAKLOVIC L,LI Shujie,WILLEM M. A note on Palais-Smale condition and coercivity[J]. Diff Inte Eqns, 1990, 3(4): 799-800.

Keywords： Ekeland variational principle; asymptotic critical value; Palais-Smale condition; coerciveness of functional

SomePropertiesofDifferentiableFunctionalatAsymptoticCriticalValueonBanachSpace

XUE Yafen*,GENG Di

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Some properties of Fréchet differentiable functional at asymptotic critical value on Banach space are shown in the present paper, which can be applied to generalize the relation between coerciveness of the functional and Palais-Smale condition.

2011-04-22

国家自然科学基金项目(10371045);广东省自然科学基金项目(5005930)

*通讯作者，xueyafen@sina.cn

1000-5463(2012)01-0039-03

O175.25

A

【责任编辑 庄晓琼】