基于GPS测站坐标残差序列的ARMA建模方法研究*

田 亮 孙付平 李楚阳

(1)解放军61363部队，西安 710054 2)解放军信息工程大学测绘学院，郑州450000)

基于GPS测站坐标残差序列的ARMA建模方法研究*

田 亮1)孙付平2)李楚阳1)

(1)解放军61363部队，西安 710054 2)解放军信息工程大学测绘学院，郑州450000)

以GPS测站坐标残差序列为实验对象，采用ARMA模型两种经典建模方法(Box-Jenkins方法和Pandit-Wu方法)进行了建模拟合的比较与分析。实验比较发现，当残差数据比较丰富时两种建模方法拟合效果理想，无明显差异，当实验数据较少时，Pandit-Wu方法拟合效果更好一些，剩余残差振幅较Box-Jenkins方法减少约，且分布更加平稳。

GPS;坐标残差;ARMA模型;时间序列分析;ITRF2008

1 引言

随着各种空间定位技术的迅速发展与成熟，国际地球参考框架的精度和稳定性取得了很大提高［1］。但是为了更加精确地描述地球表面各种毫米量级地球动力学变化，国际大地测量学界又提出了地心坐标精度接近或达到1 mm的新目标。要达到如此高的精度目标，势必对各种空间技术的观测精度以及数据处理方法和模型提出了更高的要求。在这样的背景下国际地球参考框架ITRF2008于2010年成功推出。该地球参考框架无论精度还是稳定性方面都大大优于以往的ITRF系列［2］。但是通过分析ITRF2008测站坐标剩余残差序列，发现依然包含许多周期性的误差规律没有进行模型改正。本文曾对这些尚未模型改正的误差规律进行了建模拟合研究［3］，发现ARMA建模拟合效果明显优于三角函数法以及小波分析等拟合方法。因此本文对ARMA模型的不同建模方法做了进一步比较研究，对常用的Box-Jenkins方法和Pandit-Wu方法进行实验比较与分析。

2 计算方法

ARMA模型定义为［4，5］

其中{εt}～WN(0，σ2)，p、q≥0为整数，(p，q)为模型的阶数，记为{Xt}～ARMA(p，q)。

值得注意的是ARMA模型建模时要求时间序列必须为平稳序列，但在实际测量中，时间序列往往包含一些非平稳的趋势项和周期项。为此在使用模型拟合前要先提取趋势项和周期部分或者采用差分方法对时间序列进行预处理，使其满足平稳性的要求。基于差分后的时间序列所建立的模型又称为ARIMA模型，记为{Xt}～ARIMA(p，d，q)。

2.1 Box-Jenkins方法建模

经数据预处理后残差序列采用Box-Jenkins方法建模拟合，主要建模步骤如下:

1)残差序列平稳性(ADF)检验。确定残差序列是否平稳，如果残差序列为非平稳序列，则进行差分处理。

2)模型识别。判断残差时间序列的自相关和偏自相关函数的形式，如果模型自相关函数拖尾，偏自相关函数截尾，采用AR模型;如果模型自相关函数截尾，偏自相关函数拖尾，采用MA模型;如果两者皆拖尾，采用ARMA模型。

3)模型定阶采用AIC最小信息准则。

4)模型参数估计采用非线性最小二乘估计方法。

5)模型的适应性检验，即检验剩余残差是否为白噪声序列。

2.2 Pandit-Wu方法建模

具体建模步骤如下:

1)ADF检验。确定残差序列是否平稳，如果检验残差序列为非平稳序列，将进行差分处理。

2)从n=1开始，逐渐增加模型阶数，拟合ARMA(2n，2n-1)模型，依次为ARMA(2，1)、ARMA (4，3)、ARMA(6，5)…即以两阶为单位逐渐增加模型阶数，直到F检验表明当再增加模型阶数时，剩余残差平方和不再显著减小为止。如果系统的确是阶数为奇数的模型，那么拟合的较高阶数为偶数的模型第2n个自回归系数的绝对值必然接近于零。那么我们可以删除这样的小参数得到较低奇数阶的模型。

3)模型适应性检验。

4)求最优模型。采用F检验判断模型是否包含小参数，若有参数可以删除，拟合较低阶的模型，从而得到最优模型。

3 算例分析

3.1 数据选取

选取的实验数据为ITRF2008解的衍生产品GPS测站坐标残差序列［6-8］，绝大部分GPS坐标残差序列包含了1997—2009年约12年的残差数据，采样间隔为7天，部分残差序列存在间断点或粗差。因此首先对选取的残差序列进行数据预处理，对于含有间断点的残差序列进行插值拟合，存在粗差的情况，设定阈值(通过残差文件中给出的formal error来判断)进行剔除。

3.2 实验结果比较与分析

由于全球GPS测站坐标残差序列数据量非常大，受篇幅限制本文仅选取部分测站作为实验对象，HOFN测站(64°N，164°W)数据累积丰富且观测数据质量较高，没有明显的外部因素突发性影响，因此以HOFN测站坐标残差序列为实验对象非常理想。

首先利用Box-Jenkins方法对HOFN测站坐标残差序列进行建模拟合，定阶准则采用AIC信息准则，阶数选取如表1所示，实际建模效果如图1～3所示。

表1 ARMA模型(Box-Jenkins方法)阶数选取Tab.1 Selection of the order number with ARMA model (Box-Jenkins)

利用Pandit-Wu方法建模阶数选取如表2所示，实际建模效果如图4～6所示。

通过观察拟合图和剩余残差图可以发现，两种建模方法的拟合效果都比较理想，没有显著差异。细微来看Pandit-Wu方法拟合后剩余残差振幅比Box-Jenkins方法稍小，但是效果不明显。为了进一步区分比较两种方法，对上述实验进行改动，实验数据截取一半即选取HOFN测站残差序列5年的残差数据(1997—2001年的时间序列)作为实验对象，采用上述两种方法进行建模拟合比较。拟合效果如图7～9所示。

表2 ARMA模型(Pandit-Wu方法)阶数选取Tab.2 Selection of the order number of ARMA model (Pandit-Wu)

图1 垂向拟合结果Fig.1 Vertical fitting results with Box-Jenkins method

图2 东向拟合结果Fig.2 Eastward fitting results with Box-Jenkins method

图3 北向拟合结果Fig.3 Northward fitting results with Box-Jenkins method

图4 垂向拟合结果Fig.4 Vertical fitting results with Pandit-Wu method

图5 东向拟合结果Fig.5 Eastward fitting results with Pandit-Wu method

图6 北向拟合结果Fig.6 Northward fitting results with Pandit-Wu method

图7 垂向拟合剩余残差比较Fig.7 Comparison between the residuals after vertical fitting with the two methods

图8 北向拟合剩余残差比较Fig.8 Comparison between residuals after northward fitting with the two methods

通过3个方向的剩余残差图比较可以发现，两种建模方法在实验数据减少一半的情况下拟合结果出现了较大差别:Pandit-Wu方法拟合后垂向剩余残差振幅在 6 mm左右，Box-Jenkins方法达到了10mm;Pandit-Wu方法拟合后残差分布仍然无明显周期性振动规律，而Box-Jenkins方法拟合剩余残差明显存在一定的周期性振动规律。东向和北向剩余残差经Pandit-Wu方法拟合后振幅在2mm左右，Box-Jenkins方法达到了3 mm。由此可见Pandit-Wu方法的拟合效果优于Box-Jenkins方法。

图9 东向拟合剩余残差比较Fig.9 Comparison between residuals after eastward fitting with the two methods

之所以Pandit-Wu方法拟合效果更加理想，从原理上分析主要是因为Box-Jenkins建模方法是以时间序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性为依据，但是在建模之前我们并不知道时间序列的理论自相关函数，而是用样本自相关函数和偏自相关函数来近似，因此不可避免地会产生误差。尤其是当采样数据较少时，样本无法完全代表总体残差分布，误差将不可避免。而Pandit-Wu方法无需了解残差序列特性，只需要逐渐增加模型阶数，直到剩余残差平方和不再显著减小为止。可见在无法预知样本内部信息的前提下，Pandit-Wu方法更加方便可靠。

5 结束语

通过对GPS测站坐标残差序列采用ARMA两种经典建模方法进行建模比较发现，Pandit-Wu方法的建模效果无论是在数据丰富还是缺乏时都能保持得很好，采用该法对剩余残差序列进行建模拟合对于进一步提高测站地心坐标精度，提高国际地球参考框架的精度和稳定性有重要意义。

1 陈俊勇.大地坐标框架理论和实践的进展［J］.大地测量与地球动力学，2007，(1):1-6.(Chen Junyong.Progress in theory and practice for geodetic reference coordinate frame［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007，(1):1-6)

2 黄立人.地壳运动的参考框架［J］.大地测量与地球动力学，2002，(3):102-108.(Huang Liren.The reference frame of earth deformation［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2002，(3):102-108)

3 田亮，等.GPS测站坐标非线性变化研究方法的比较与分析［J］.测绘工程，2011，20(2):27-29.(Tian Liang，et al.Comparative analysis of studying on GPS station non-linear variation［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2011，20(2):27-29)

4 王振龙，胡永宏.应用时间序列分析［M］.北京:科学出版社，2007.(Wang Zhenlong and Hu Yonghong.The application of time series analysis［M］.Beijing:Science Press， 2007)

5 陈杰.MATLAB宝典［M］.北京:电子工业出版社，2006.(Chen Jie.MATLAB canon［M］.Beijing:Electronics Industry Press，2006)

6 http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2008/ITRF2008.php，2010.

7 http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2008/doc/ ITRF2008_GPS.SSC.txt，2010.

8 Dennis D and McCarthy D D(eds.).IERS Conventions (2003)，IERS Technical Note No.32，2003.

STUDY ON ARMA MODEL BASED ON GPS STATION COORDINATE RESIDUAL SERIES

Tian Liang1)，Sun Fuping2)and Li Chuyang1)

(1)61363 Troops of PLA，Xi’an 710054 2)PLA Information Engineering University，Zhengzhou 450000)

As to GPS station coordinate residuals，we used two classical ARMA modeling methods(Box-Jenkins method and Pandit-Wu method)to fit the GPS station coordinate residuals，and made comparative study.According to the experiment，we found out that the two methods have a little difference while there is abundant data.If the data is poor，with the Pandit-Wu method the results will be better.The amplitude of residuals reduces aboutand the distribution is more uniform.

GPS;coordinate residuals;ARMA model;time series analysis;ITRF2008

1671-5942(2012)02-0124-04

2011-11-30

国家自然科学基金(41074011)

田亮，1987年生，工学硕士，助理工程师，主要研究方向为空间大地测量.E-mail:tl200431610237@126.com

P207

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