一类生化反应方程的周期解

黄建吾 (闽江学院数学系, 福建 福州 350108)

一类生化反应方程的周期解

黄建吾 (闽江学院数学系, 福建 福州 350108)

讨论了J.Higgins提出的一类双细胞生化反应模型，并利用Schauder不动点定理以及指数型二分性理论给出了该类型生化反应模型周期解的存在条件。

Schauder不动点定理；周期解；指数型二分性

关于J.Higgins提出的描述2个细胞生化反应的模型：

(1)

有不少关于极限环讨论的研究成果[1]。在模型(1)的基础上，文献[2]讨论了该模型具有米氏饱和反应速度的情形，文献[3]讨论了该模型具有二重饱和反应速度的情形，得到该系统极限环存在性或唯一性的若干充分条件。下面，笔者利用Schauder不动点定理及指数型二分性理论，对周期系数模型：

(2)

进行了探讨，并给出了模型(2)周期解的存在条件。显然，模型(2)包含模型(1)。

1 引 理

引理1[4]若系统x′=A(t)x具有指数型二分性，且：

A(t+ω)=A(t)B={f(t)|f:R→Rn,f(t+ω)=f(t),f(t)有界可积}

则对任意的f(t)∈B，系统x′=A(t)x+f(t)有唯一有界周期解，且该解为：

其中，X(t)是系统x′=A(t)x的基本解方阵；P为投影方阵。

引理2[1](Schauder不动点定理) 设M是线性赋范空间F中的一个有界闭凸子集，T:M→M连续，TM列紧，则T在M上必有一个不动点。

引理3[5]若F是区间I上定义的函数族，任意的f∈F皆在I上可微，且{f′(x):f∈F}在I上一致有界，那么F在I上等度连续。

引理4[1](Ascoli定理) 设F={fn(t)|fn:R→Rn}，若F一致有界且等度连续， 则F存在子列{fnk(t)} 在任意有限区间上一致收敛。

引理5[5]若函数f(x)在区间I上满足：存在常数r≥0,对任意的x,y∈I均有：

|f(x)-f(y)|≤r|x-y|

则f(x)在I上一致连续。

2 主要结果

定理1对模型(2)，若kα-1(A+2B+1)≤1，则模型(2)存在周期解。

证明设M={φ(t)|φ∈C(R,R),φ(t+ω)=φ(t)，|φ(t)|≤1}，∀φ1,φ2∈M,∀0≤λ≤1有|λφ1+(1-λ)φ2|≤1，故M是有界函数空间的有界闭凸子集。将模型(2)变形为:

(3)

∀φ(t)∈M，考虑线性系统：

(4)

可验证式(4)齐次部分有基解矩阵如下:

(5)

则：

(6)

故：

(7)

这样，系统(4)的齐次部分具有指数型二分性(其中P=I)。由引理1，系统(4)有唯一周期解：

(8)

∀φ∈M，定义映射T：Tφ(t)=yφ(t)，下面证明T有不动点。

2)TM是列紧的。事实上，由于：

事实上，由式(6)和式(7)可得：

则：

所以T是连续的。

由Schauder不动点定理知T有不动点，记为φ0(t),有φ0(t)=Tφ0(t)=yφ0(t),于是有:

[1]邓宗琦，吴克乾，梁肇军，等.常微分方程与控制论[M].武汉：华中师范大学出版社,1988.

[2]阳平华，徐瑞，胡宝存.一类生化反应系统的定性分析[J].生物数学学报,1998,13(3):361-364.

[3]黄建华，张新建.一类生化反应系统极限环的存在唯一性[J].生物数学学报,2000,15(4): 432-436.

[4]林发兴. 线性系统指数型二分性[M].合肥：安徽大学出版社，1999.

[5]黄建吾. 二次周期系数微分方程的周期解[J].纯粹数学与应用数学，2004，20(2)：145-149.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.004

O175.1

A

1673-1409(2012)03-N010-03

2012-01-16

黄建吾(1973-)，男，1995年大学毕业，硕士，副教授，现主要从事微分方程方面的教学与研究工作。