李 东, 方海文, 方秀男, 杨文泉, 康赵敏, 赵 宇
(佳木斯大学 理学院 数学系, 黑龙江 佳木斯 154007)
一类带有两个参数变号四阶多点边值问题的正解
李 东, 方海文, 方秀男, 杨文泉, 康赵敏, 赵 宇
(佳木斯大学 理学院 数学系, 黑龙江 佳木斯 154007)
应用拓扑度理论及下解的方法, 讨论了以下带有两个参数的四阶多点边值问题
u(4)(t)+βu′′(t)-αu(t)=μh(t)f(t,u(t),u′′(t)), 0lt;tlt;1,
拓扑度理论; 下解; 正解; 变号; 参数; 多点
近年来,许多作者应用Leray-Schauder不动点理论,迭合度理论等方法研究了四阶边值问题解的存在性[1-4].在文[1]中,Li研究了下列四阶两点边值问题的正解存在性
其中f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续的.
受文[5]启发,在本文中,我们考虑以下四阶多点边值问题:
(1)
(H1)f(t,u,u′′):[0,1]×R2→R是连续的;
引理1 假设条件(H2)成立,且φj,φj分别是以下线性问题
(2)
和
(3)
和
令
由Liouville公式,我们记
(4)
且
(5)
(6)
有唯一解
(7)
其中
(8)
(9)
且
(10)
(11)
其中Gj(t,s)如(8)式所示.易知,如果Aj(y),Bj(y)分别表示成(9)式,(10)式,则方程(6)的解可表示成(11)式.下面我们将证明Aj(y),Bj(y)分别如(9)式,(10)式所示.(8)式代入(11)式,我们有
(12)
则,
(13)
那么由(12)及(13)式,可得
由于
(14)
(15)
那么由(2),(3)及(14)式
(16)
由(2),(3)及(15)式
(17)
那么由(16)及(17),通过常规计算可知
且
引理得证.
(18)
其中
(19)
(20)
证由常规计算可完成引理3的证明,这里略去.
那么由(18)式,可知
(21)
易知如下引理
引理5 问题(1)至少存在一个正解当且仅当以下问题至少存在一个正解
(22)
证事实上,由(18)式,如果u是问题(1)的一个解,那么,v=-u′′+λ1u是问题(22)的一个解.另外,若v是问题(22)的一个解,令u=Sv,由(18)式,我们有-u′′+λ1u=-(Sv)′′+λ1(Sv)=v.那么,u=Sv是问题(1)的一个解.证毕.
令g(t,Sv,v)=f(t,Sv,λ1(Sv)-v),则问题(22)等价于以下问题
(23)
引理6[5]假设T:X→X是全连续的.定义算子A:TX→X如下
其中ω∈C[0,1],ω≥0,是给定的函数.那么A∘T→P也是全连续的.
为方便起见,令
(24)
则边值问题(23)至少存在一个正解v*(t)满足
证令
(25)
定义算子T:P→X如下
(26)
类似引文[6]中的引理2.1的证明,易知算子T是全连续的.定义算子A:X→P如下
(Av)(t)=max{v(t),0}
(27)
那么由引理6,可知算子A∘T:P→P也是全连续的.
(28)
且∃rgt;κgt;0,使得
(29)
令Ω={v∈P:||v||lt;r},那么,对于v∈∂Ω,我们由(28)式及(29)式知
(30)
类似地,
(31)
于是,由(30)及(31)式可知
μδ2(A0+B0)rlt;r.
(32)
假设(32)式不成立,则存在t0∈[0,1]使得
(33)
事实上t0≠0,1,如果t0=0,我们有
证类似定理1的证明,我们可完成定理2的证明,这里略去.
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[责任编辑:李春红]
PositiveSolutionsforFourth-OrderMulti-PointBoundaryValueProblemWithtwoparametersandSignChangingNonlinearity
LI Dong, FANG Hai-wen, FANG Xiu-nan, YANG Wen-quan, KANG Zhao-min, ZHAO Yu
(Department of Mathematics, College of Science Jiamusi University, Jiamusi Heilongjiang 154007, China)
In this paper, we investigate the existence of positive solutions for the furth-order multi-point boundary value problem with sign changing nonlinearity
u(4)(t)+βu′′(t)-αu(t)=μh(t)f(t,u(t),u′′(t)),0lt;tlt;1,
method of lower solution with the method of topology degree; positive solution; multi-point; sign changing nonlinearity
O175.8
A
1671-6876(2012)02-0122-07
2012-01-18
李东(1976-), 男, 吉林长岭人, 讲师, 硕士, 研究方向为泛函分析、非线性泛函分析及其应用.