任意阶微分系统带权第二特征值的上界

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 基础部，江苏 苏州 215104)

任意阶微分系统带权第二特征值的上界

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 基础部，江苏 苏州 215104)

考虑任意阶微分系统带权第二特征值的上界估计。利用试验函数，Rayleigh定理，分部积分和Schwartz不等式等估计方法与技巧，获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关。其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用。

任意阶微分系统;特征值;特征向量;上界

1 主要结果

设(a，b)⊂R是一个有界区间，考虑如下微分系统

其中 μ1，μ2，v1，v2为正实数。

把问题(1)写成矩阵形式，设

六阶微分系统方程问题(1)的特征值估计已获得一些结果［1］。在本文中，考虑任意阶微分系统并且左端的导数比右端的导数阶数恰好高2t－2阶的问题，这个问题将 ［1］推广到任意阶微分系统的情形，当t=3时，恰是文［1］中的结果。运用文［2］中的方法，并且对其方法加以改进，对于问题(1)获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关。其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用［3］。

定理设λ1，λ2是问题(1)的两个第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，则有

2 定理的证明

设λ1是问题(4)的第一特征值，相应于λ1的特征向量函数为u1，简记u=u1，且满足

［1］ 赵晓苏，钱椿林.六阶微分系统带权第二特征值的上界［J］.长春大学学报，2010(8):10－13.

［2］ G N Hile，R Z Yen.Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator［J］.Pacific J.Math，1984(1):115 －133.

［3］ M H Protter.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev，1987(2):185 －197.

Upper Bound of Weighted Second Eigenvalue for Differential Systems with Arbitrary Orders

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin

(Fundamental Department，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Considering the estimate of the upper bound of weighted second eigenvalue for differential systems with arbitrary orders，this paper，using test functions，Rayleigh Theorem，integration by part，Schwartz inequality estimation，obtains the inequality for the estimate of upper bound of the second eigenvalue by the first eigenvalue and the estimation coefficients do not depend on the measure of the domain.The result is widely used in physics and mechanics，which plays an important role in the study of ordinary differential equation.

differential system with arbitrary orders;eigenvalue;eigenvector;upper bound

O175.1

A

1009－3907(2012)08－0975－05

2012-04-20

苏州市职业大学基金资助项目(2010SZDQ12)

赵晓苏(1962-)，女，江苏苏州人，讲师，主要从事算子特征值估计方面的研究;钱椿林(1943-)，男，江苏苏州人，教授，主要从事算子特征值估计方面的研究。

责任编辑:程艳艳