基于MATLAB对二维混合边界静电场域的分析

李小兵

（兰州交通大学，电子与信息工程学院， 甘肃兰州 730070）

0 引言

当电磁波通过两个不同的媒质边界时，边界附近的电磁场需要满足一定的规则，即边界条件，它把场量、介质的材料特性及边界面上的电荷及电流密度联系在一起，边界条件可以从基本的电磁定律得到。由于描述电磁场的偏微分方程是空间坐标的函数，因此只有在一组特定的边界条件下才能获得唯一解。分离变量法和镜像法都是求解静态场边值问题解析解(精确解)的方法，但它们只有对一些特殊对称的边界才是可行的。在许多实际问题中,往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解,这时一般要借助数值法求二维静态场域的电位所求得的。而应用有限差分法在对静电场进行求解的结果比较误差较小，不仅数学建模和编程有规可循，而且场域内的电位分布情况还可以用图示一目了然,便于分析。大部分电磁场问题涉及3种类型的边界条件：狄里赫利（Dirichlet）型边界条件、纽曼（Neumann）型边界条件、混合型边界条件，有限差分法对二维混合边界静电场域中的电位进行计算时涉及到了第一和第二类边界条件。

1 理论分析

1.1 二维场域的边界条件

如图1所示，区域S的边界为曲线L所包围，若二维场域边界上的电位φ=f,f是一个事先已知的点位函数，这种边界条件为第一类边界条件（狄里赫利边界条件）。若二维场边界满足为已知数或一种连续函数(见图2），这种边界条件为第二类边界条件（纽曼边界条件），若二维场边界条件为第一第二种线性组合（见图3），则称为混合边界条件。

图1 狄里赫利型边界条件

图2 纽曼型边界条件

图3 混合型边界条件

1.2 对边界条件的处理

对第一类边界条件φ|L=f，若场域的网格节点都落在边界L上，无需处理，若不重合，一种是所谓的直接转移法汲取最靠近0点边界函数值做0点，这种方法比较粗糙误差大。一种是线性插值，先判断X方向的和Y方向上哪个节点更靠近节点0，如1靠近，可得X方向线性插值0的值（见图4）。

图4 第一类边界条件差分格式

图5 网格线与边界重合

2 超松弛法

简单迭代在解决实际问题中收敛速度慢，占用存储单元多（需两套存储单元分别存放全部节点使用价值不大，采用超松弛发可以很好的解决。

将刚才算出的左下角的点（i-1，j）和点（i，j-1）代替上次计算的点（i-1，j）和点（i，j-1），即：

上式称为高斯-赛德尔迭代法，引入一个松弛因子ω上式改为

式中，松弛因子ω最佳值为：

3 计算结果和讨论

一个长直接地金属槽，侧壁和底面电位为零，顶盖为ϕ= 1 00sinπx，计算槽内电位分布：

槽中电位函数ϕ满足拉普拉斯方程：

其边界条件满足混合边界条件：

MATLAB计算程序框图如图6所示。

图6 计算程序框图

通过MATLAB编程，程序运行结果是：迭代次数k=111，收敛因子w=1.6093，即经过节点111次的迭代后，电位值收敛于一固定值，且误差小于10-8，场域内各网格节点电位计算结果如表1所示。

表1 域内网格点电位的计算结果（hx=16,hy=12,误差小于10-8）

应用MATLAB绘制二维混合边界静电场区域内电位分布三维曲面图、域内等位线及电场线分布如图7所示。

图7 二维混合边界静电场电位分布图

我们在应用简单迭代法进行处理，同样要求误差小于10-8，通过MATLAB编程行结果是：迭代次数k=410，即经过节点410次的迭代后，电位值收敛于一固定值，且误差小于10-8，场域内各网格节点电位计算结果与超松弛法相同。

4 结论

1）混合边界条件属于复杂边界问题，很难求出解析解，但工程中常常要分析其中的电位分布，借助数值法求解才能进行，本文采用有限差分法很好地解决了静态场混合边界条件下的电场分布问题。应用MATLAB编程求解差分方程，由于混合边界条件比单一边界条件情况复杂得多，给编程带来麻烦，但比解析法工作量要小。

2）通过两种有限差分求解方法，应用超松弛法只需计算好合适的松弛因子就可以大大加快收敛速度，应用超松弛法迭代次数k=111,而得到同样的结果简单迭代法需要410次，因此应用超松弛法，即节省时间还节省计算机的存储空间。

利用MATLAB 强大的计算与图像处理功能分析研究电磁场与电磁波问题简单方便，特别对于抽象不可见的问题进行仿真处理，可直观地分析和理解问题。文中对静电场二维场混合边界条件进行处理并建立相应的数学建模，通过 MATLAB编程计算和绘图能力，准确地描绘出等势线分布和空间电场强度分布图。

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