关于和式极限的探求*

方辉平

(黄山学院数学系，安徽黄山245041)

极限是研究数列和函数性质的一个重要工具，在数学分析中许多基本概念和问题都和极限密切相关.和式极限在不少专著里均有所涉及［1，2］，却并没有专题研究它的求法.大学生数学竞赛题涉及该类极限问题较多，促使学者探究如何较好解决和式极限问题.

1 利用定积分定义求极限

定积分是用黎曼和的极限来刻画的，可以利用定积分的定义及其计算求极限.利用极限定义求极限的技巧就是把通项写成两部分的乘积，一部分是区间等分所得的小区间长度，另一部分是关于分点坐标的函数.首先看第二届全国大学生数学竞赛决赛的一道试题.

这是第十八届北京市大学生数学竞赛的一道试题，综合使用了夹逼准则和极限的定义求极限.

2 利用Stolz定理求极限

也有一些学者［3］对Stolz定理进行推广，并用来求极限.

3 等价代换求极限及其误区分析

在数学分析里提到等价无穷小量的概念，并利用等价无穷小量替换来计算极限.有少数学者研究了求和式极限时利用等价无穷小代换，但都没有分析过这种代换的误区.下面着重分析定理的运用和误解.

定理1 设点列{xnk}(k=1，2，…，n)，满足=0，并且当 n→∞时，f(xnk)和 g(xnk)是两个等价无穷小量，如果

下面是首届中国大学生数学竞赛决赛的一道试题.

下面给出两个易混淆的错误命题:

错误命题1 设当 n→∞时，f(n，k)和 g(n，k)是两个等价无穷小量，如果(n，k)存在，则

错误命题2 设点列{xnk}(k=1，2，…，n)，满足=0，并且当 n→∞时，f(xnk)和 g(xnk)是两个等价无穷小量，如果存在，

这两个错误命题都可以以例4作为反例.以上这两种代换在一般数列极限的等价无穷小替换法经常使用，但是对于和式极限，使用这两个命题，往往导致错误的结果.

［1］毛京中.高等数学竞赛与提高［M］.北京:北京理工大学出版社，2002

［2］华东师范大学数学系.数学分析(上册)［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001

［3］庹亚林.Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2009，26(4):322-326