考虑承压水的基坑抗隆起稳定性上限分析

李镜培，唐 耀，张 飞

（1.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室 上海 200092；2.同济大学 地下建筑与工程系 上海 200092）

基坑的抗隆起稳定性验算是基坑工程设计中一项十分关键的分析计算内容.对于基坑抗隆起稳定性计算，目前常用的方法是极限平衡法.这种验算方法大致分为两类：一类是基于地基承载力概念的方法，如太沙基［1］（Terzaghi）公式、普朗特尔［2］（Prandtl）公式和 Caguot［2］方法等；另一类是圆弧滑动法［2］，假定某一圆弧作为滑裂面，通过计算滑裂面上的抗滑力矩和滑动力矩的比值得到安全系数.近年来一些学者［3－7］将基于传统塑性力学上下限定理的极限分析方法应用于基坑抗隆起稳定性的验算，取得了较为理想的计算结果.

上海等沿海地区的土层中，在一定深度内存在着致密的不透水层，其下有透水性很强的粉土，粉土中的水头压力往往较高，表现出一定的承压性质［8］.近年来随着基坑开挖深度的不断加大，承压水层对于基坑抗隆起稳定性的影响日益突出.目前对于基坑抗隆起稳定性的研究仅仅考虑了潜水层渗流的影响［3，9］，而承压水对于深基坑抗隆起稳定性影响的研究较为少见.承压水问题对于基坑抗隆起稳定性验算有着不可忽视的影响，如刘国彬和王洪新［10］曾报道了某地铁基坑由于受上海⑤层承压水影响，出现了地下连续墙明显“踢脚”，坑内立柱上浮，房屋裂缝等险情.本文利用极限分析上限理论，考虑承压水对坑底土层的驱动机制的影响，对基坑抗隆起稳定性验算方法进行了进一步的探讨.

1 考虑承压水层影响的上限定理

1.1 极限分析的上限定理

极限分析的上限定理是建立在Drucker公设和虚功原理之上的，表述的方法有很多种，其中一种表述为：某机构在假定的运动许可速度场下，外力功功率不大于内能耗散率［11］，即

当有外力作用在机构上时，将在该机构上产生附加应力场.附加应力场所做的外力功功率可以表示为［12］

本文同时考虑土体的粘聚力c和内摩擦角φ［13］，即将土体看作一种Coulomb材料，这样间断速度与速度间断面s的方向始终成夹角φ.Coulomb材料单位体积附加应力做功功率P可以表示为

根据相关联流动法则，有

因此对于Coulomb材料附加应力做功功率为

由上述推导不难看出，求出承压水头压力引起的附加应力做功功率的关键是求出承压水头压力所引起的附加应力的分布.

1.2 水头压力在不透水层中产生的附加应力

当坑底土的渗透系数很小，坑底土为弱透水层或者不透水层时，坑底土将以“板”的形式承受承压水产生的水头压力［14］.此时，可以将坑底隔水土层作为隔离体进行受力分析［15］，推导水头压力作用下的土层应力分布.计算假设基坑底部隔水土层为四边固支的板，将其所承受的承压水头压力作为均布荷载，当基坑长宽比大于2时，隔水土层作为单向板处理，否则作为双向板处理.坑底土层的受力如图1所示.

无论将隔水土层作为单向板还是双向板处理，均可以取单位宽度的板带进行计算，即当作土梁进行内力分析.当基坑宽度与不透水层厚度的比值（跨高比）达不到作为普通梁的要求时，将土梁看作“深梁”［16］来处理，采用弹性力学两端固定的梁的应力解来计算.在图1所示的坐标系下，应用弹性理论得到土梁的内力分布为

式中：p为承压水头压力简化的均布荷载，且p＝γwhw，γw为水的重度，hw为承压水头高度；l为土梁的计算宽度，即基坑开挖的宽度；h为土梁的计算梁高，即基坑不透水层的厚度；ν为土体材料的泊松比.

图1 坑底隔水土层内力计算简图Fig.1 Calculating sketch of base plate of foundation pit

土梁内应力分量为

式中：I为截面惯性矩，I＝bh3／12；S＊为截面静矩，S＊＝［h2／4－（z－h／2）2］／2；b为土梁的计算宽度，在此取单位宽度.

将坑底隔水土层内的应力分布计算结果作为外力带入到极限分析的上限定理公式中，计入承压水头压力对基坑稳定机构的外力做功，即考虑坑底承压含水层的水压力对基坑隆起的影响.选取适当的破坏模式，研究极限分析上限定理机构的能量耗散和各部分外力做功等作用.

2 破坏模式的选取

Chen［11］认为上限分析选取的破坏模式越接近实际破坏情况，计算结果就越精确；Chang［4］和Faheem等［17］均指出基坑隆起的Prandtl破坏模式比较接近软土深基坑开挖时土体实际的破坏模式.另外，Faheem 等［17］和 Goh［18］通过有限元方法得到挡墙与土体之间的摩擦对基坑抗隆起稳定性分析几乎没有影响.邹广电［3］认为基坑隆起问题的根本机理是当地基土和地面荷载在基坑基底所产生的垂直荷载超越了基底以下的土体所能承受的极限荷载时，坑底以下土体会沿着某一滑裂面向开挖侧滑移，从而导致基坑坑底发生隆起，因此本文将开挖面上JG范围内（见图2）的土体作用力简化成均布荷载.本文采用Prandtl滑动模式，构成如图2所示的朗肯主动区Ⅰ、过渡区Ⅱ和朗肯被动区Ⅲ所形成的滑裂土体，滑裂面尺寸由围护墙插入深度D决定.对定理的计算推导作如下计算假设：① 土体将绕墙体底面发生滑动；② 忽略墙体与土体之间的摩擦作用；③将开挖面以上的土体作用力简化为均布荷载作用；④ 忽略JG范围以外的土体及地表超载的作用.

图2所示的破坏模式中，过渡区滑裂面曲线为对数螺线，其曲线方程为r＝r0eθtanφ，AB，BK 以及KE分别为各区的滑裂面，整个破坏机构的尺寸已在图中标出，其中，r0＝De－（45°＋φ／2）tanφ，D 为支护结构入土深度，h为不透水层厚度，H 为基坑开挖深度，L＝2r0cos（45°－φ／2）.选取一种协调的速度场，土体KEF的速度为V0，且与滑裂面KE成夹角φ；土体BKF其速度沿滑裂面BK呈指数分布，任意转动角度θ处的速度为V＝V0eθtanφ；土体ABF的速度为V1＝V0e（πtanφ）／2，且与滑裂面成夹角φ；q为地面超载.

图2 破坏模式计算简图Fig.2 Calculating sketch of failure model

3 安全系数的计算

为计算基坑抗隆起稳定性的安全系数，需要分别计算出外功率和内能耗散率，通过外功率和内能耗散率相等的平衡方程，求出基坑的临界开挖深度，临界开挖深度与实际开挖深度的比值即为基坑的安全系数.

3.1 外力做功功率

外力做功功率包括重力、基坑开挖基准面以上土体作用力简化形成的均布荷载、地表超载以及承压水头压力引起的附加应力做功功率.

（1）重力做功功率计算土体KEF

式中：γ为土体重度.

土体ABF

指数螺线区BKF

（2）承压水头引起的附加应力做功功率

附加应力做功功率的计算首先需要求出由承压水头所引起的附加应力在速度间断面上的正应力和切向应力分布.附加应力在土梁内的分布已经由公式（8）得到，只需将其进行一定的转角变换即可.

直线AB上的应力分量

式中：α＝π／4＋φ／2.

指数螺线BC上的应力分量

区域BCF的径向应力分量

式中：δ＝θ－π／4＋φ／2

通过上述应力分量计算，可以进一步得到附加应力在速度间断面上的做功功率.

直线AB上的应力分量做功功率

弧线BC上的应力分量做功功率

区域BCF的径向应力做功功率

（3）地表超载和土体等效外荷载做功功率

3.2 内能耗散率

内能耗散率只是存在速度间断面上，即

3.3 安全系数计算

首先计算基坑的临界开挖深度，由内能耗散率与外力做功功率相等，即

得到临界开挖深度为

根据前述的安全系数定义，计算达到临界状态时的基坑开挖深度与实际开挖深度的比值，从而得到基坑抗隆起稳定性的安全系数

4 参数对于抗隆起稳定性影响分析

采用本文计算方法能够考虑坑底承压水层对基坑抗隆起稳定性的影响.以下主要分析承压水头大小、不透水层厚度以及挡土墙插入深度对于基坑抗隆起稳定性安全系数的影响.为了便于分析，假定基坑开挖土体的参数为c＝10kPa，φ＝20°，γ＝18kN·m－3.开挖深度 H＝10m，不透水层厚度h＝10m，基坑宽度l＝20m.

4.1 承压水头大小对于安全系数的影响

为了分析承压水头大小对于安全系数的影响，先定义量纲一参数λ＝hw／H，用来衡量承压水头大小的影响.

图3为不同承压水头下基坑抗隆起稳定性安全系数的变化规律.由图3可以看出，随着承压水头的增大，基坑抗隆起稳定性安全系数逐渐减小；承压水头每增加10m，安全系数减小约15%～20%，说明考虑承压水的影响是非常必要的.另外，在不同挡土墙插入深度下，安全系数随水头大小的变化近乎平行，这说明挡土墙插入深度对于安全系数随承压水头的总体变化规律不产生影响.

图3 承压水头对安全系数的影响Fig.3 Effect of confined water on factor of safety

4.2 不透水层厚度对于安全系数的影响

为了分析不透水层厚度对于安全系数的影响，先定义量纲一参数η＝h／H，用来表征不透水层厚度与基坑开挖深度的比值.图4表示不透水层厚度对于基坑抗隆起稳定性安全系数的影响.

图4 不透水层厚度对安全系数的影响Fig.4 Effect of thickness of water resisting layer on factor of safety

由图4可以看到随着不透水层厚度的增加，安全系数逐渐增加；在不同承压水头下，安全系数随着不透水层厚度的变化都以水头压力为零的直线为渐近线.这也说明了不透水层在达到一定厚度（基坑开挖深度2～3倍以上）以后，可以忽略承压水头的影响.

4.3 挡土墙插入深度对于安全系数的影响

为了研究挡土墙插入深度对于安全系数的影响，定义量纲一参数挡土墙插入深度比ξ＝D／H，用来衡量挡土墙入土深度的影响.图5表示基坑抗隆起稳定性安全系数随挡土墙入土深度的变化规律.

图5 挡土墙插入深度比对安全系数的影响Fig.5 Effect of ratio of immersion depth on factor of safety

从图中可以看出，安全系数随着挡土墙入土深度的增加而增加；在相同的插入深度比之下，承压水头对于基坑抗隆起稳定性安全系数有着不可忽视的影响.

5 算例验证

5.1 算例一

文献［8］中记录了上海某基坑的设计施工及实测数据，该基坑开挖深度为12.65m，挡土墙的入土深度为13.35m，坑底不透水层厚度为16.4m，其下为上海第一承压水层，承压水头高度为24m.土性指标取加权平均值为c＝17.8kPa，φ＝19.11°，γ＝18.0kN·m－3.采用Prandtl和Terzaghi公式计算的基坑抗隆起安全系分别为1.86，2.08.采用本文考虑承压水的计算方法得到安全系数为1.34，与文献［18］中的结论保持一致.

本算法与传统算法所得到的安全系数相比在一定程度上有所降低，这是由于本文的计算方法考虑了承压水层对于基坑抗隆起稳定性的不利影响，本文的计算结果对于工程实际有着一定的参考价值.

5.2 算例二

文献［10］中记录了上海某地铁车站基坑在施工过程中出现基坑临界失稳的事故.该基坑宽度为20m，长度方向292m，基坑开挖深度为10m，地下连续墙埋深18m，即入土深度为8m，不透水层厚度为8.63m，承压水头为16m.地下连续墙墙底以上的土性指标加权平均为c＝6.17kPa，φ＝24.03°，γ＝17.9kN·m－3.文献中采用圆弧滑动法计算得到安全系数为1.73，采用本文的方法考虑承压水的影响，得到安全系数为0.97，在降水后承压水水头为12m时，险情得到明显控制，用本文方法计算此时的安全系数为1.41，计算结果与工程实际较为符合，这也证实了本文方法在工程中的适用性.

6 结语

（1）在基坑开挖时，基坑抗隆起稳定性分析考虑承压水的影响是十分必要的.

（2）如果不考虑基坑底部承压水层水头压力的影响，则计算得到的安全系数偏大，在工程设计中偏于不安全.

（3）基坑抗隆起稳定性安全系数随承压水头增大而减小，随着不透水层厚度的增加而增大并趋于稳定.

（4）采用本文方法可以计算受到承压水影响的基坑抗隆起稳定性安全系数，能够反映出承压水所带来的不利影响，并且为采取相应的设计、施工措施提供了理论依据.

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