变起点GM（1，1）马尔可夫链模型在我国农村人均纯收入预测中的应用

陈友余

（湖南财政经济学院 工商管理系，湖南 长沙410205）

变起点GM（1，1）马尔可夫链模型在我国农村人均纯收入预测中的应用

陈友余

（湖南财政经济学院 工商管理系，湖南 长沙410205）

以扩展我国农村人均纯收入预测方法和提高预测精度为目标，采用变起点模型对传统GM（1，1）模型进行改进，通过建立一个预测模型群，从中挑选精度最高、拟合程度最好的模型作为后续的预测模型，通过实际应用的确提高了预测精度和拟合程度；然后在此基础上对后续的预测模型的残差进行分类，计算转移概率矩阵，从而得出由区间和概率组成的预测范围，较大的增强了预测的可操作性和可信性。

GM（1，1）；变起点GM（1，1）；马尔科夫链；农村人均纯收入

一、引言

农业是国民经济基础，农民问题是“三农”工作的重心。农村人均纯收入呈现持续增长的同时，城乡收入差距较大,影响和制约农民收入增长的因素仍然存在。基于此，本文依据2000～2010年农村人均纯收入数据，运用改进的灰色马尔科夫链模型对我国农村人均纯收入进行预测。

灰色系统理论是邓聚龙教授首次提出的，解决了学术界一直无人解决的微积分方程建模问题。其研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的小样本、贫信息的不确定性系统，具有建模过程简单，建模表达式简洁等优点，被广泛应用于经济、生物、农业、医药、水利等领域，但其模型有一定的缺陷，不少学者对其进行了一定程度的改进，残差GM（1，1）模型在实际应用广泛。本文在传统GM（1，1）模型的基础上采用变起点方法进行改进，建立了一个预测群，从预测群中挑选最优的模型用于预测，这种方法一方面提高了预测精度和拟合程度，一方面增强了预测的可操作性和实用性。

二、变起点GM（1，1）模型

在实际预测建模中，不一定用原始序列中全部的数据来建模。在原始序列中有规律挑选一部分数据（数据至少为4个），就可建立一个模型。为了提高传统GM（1，1）模型的预测精度和拟合程度，建模数据中应为包含x（0）在内的一个等时距序列，基于这种思想，以x（0）为建模取值的终点，从后往前不断取值，可以建立一个预测模型群，从预测模型群中挑选最优的模型用于以后的预测，其建模和求解如下：

（1）给定原始时间序列x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），其中n为原始数据个数；

（2）用x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））建立的GM（1，1）模型为全部数据模型；用 x（0）=（x（0）（i），x（0）（i+1），…，x（0）（n））（i叟2）建立的GM（1，1）模型为部分数据模型；

（3）由于最短时间序列中数据至少为4个，于是可建立一个4维子序列：（x（0）（n-3），x（0）（n-2），x（0）（n-1），x（0）（n）），依次往下，最后可建立一个n维子序列（即原时间序列），总共可建立n-3个子序列；

（4）对各子序列按传统GM（1，1）模型方法进行预测，并进行精度检验和拟合度检验，从模型群中挑选最优的模型应用于预测。

三、马尔可夫链模型

从变起点GM（1，1）模型得到的预测结果，可通过马尔可夫链方法对残差进行分类，精确估计每类情况可能出现的概率，得出由区间和概率组成的预测范围，从而较大的增强了预测的可操作性，更有利于保证预测的可信性。

（一）马尔可夫链与K步转移概率矩阵定义

设随机过程{x（i），i∈I}的状态空间S为R中的可列集，对应I中任意参数i1＜i2＜i3，以及使P{x（i1）=m1，x（i2）=m2，…，x（in-1）=mn-1}＞0成立的S中的任意状态 m1，m2，…，mn，均有P{x（in）=mn｜x（i1）=m1，x（i2）=m2，…，x（in-1）=mn-1}=P{x（in）=mn｜x（in-1）= mn-1}，则称{x（i），i∈I}为马尔可夫链，并记：I，j∈S，表示在时刻m系统处于状态i条件下，在时刻m+k系统处于状态j的概率，将依次排序，可得m×n阶转移概率矩阵：，该矩阵称为马尔可夫链的K步转移概率矩阵，其中P（k）ij叟0

（二）划分状态，计算转移概率

划分状态是将数据数列划分成若干个大致均等的区间范围，其中任一状态区间Ei=[E1i，E2i]，其中i=1，2，…，n，式中E1i，E2i为状态边界。如果数据序列由状态Ei转移到状态Ej的次数共为mij次，状态Ei出现的次数共为mi次，则可计算出此时的转移概率

（三）根据转移概率矩阵进行预测

根据状态Ei，利用状态转移概率矩阵，估计未来转向状态Ej的可能性，即若目前预测对象处于状态就描述了目前状态Ei在未来转向状态Ej的可能性，按最大概率原则，选择Pij中最大者对应的状态为预测结果，即当Max={Pi1，Pi2，…，Pin}=Pij（i=1，2，…，n）时，可以预测下一步系统将转向状态Ej。或是若知道该时间所处的状态向量为A（t）=（a1（t），a2（t），…，ai（t）），则时刻A（t+m）=A（t+m-1），根据A（t+m）可以为预测者提供预测依据。当比较复杂或是要求精确结果时我们往往选用后一种计算方式。

四、灰色马尔科夫链模型在我国农村人均纯收入预测中的应用

21世纪开局以来，我国农村人均纯收入见下表，数据均来至于《全国国民经济和社会发展统计公报》。

表1 ：我国2000～2010年农村人均纯收入（单位：元）

（一）变起点GM（1，1）模型

由于n=11，首先可建立8个子序列；然后对各子序列按传统GM（1，1）模型方法进行预测，得各模型对应的离散响应函数，计算平均相对误差、后验差比值和小误差频率，计算结果均见表2；最后对各子模型进行精度比较和拟合程度比较，选择8维子序列作为预测模型。

（二）改进的灰色马尔科夫链模型

首先，将8维子序列的残差划分为5种状态：状态1：呈明显高估状态，即差额与实际值的比例低于-5%；状态2：呈高估状态，即差额与实际值的比例在-5%到-2%之间；状态3：较为准确，即差额与实际值的比例的绝对值在2%以内；状态4：呈低估状态，即差额与实际值的比例在2%到5%之间；状态5：呈明显低估状态，即差额与实际值的比例超过5%。

其次，计算我国农村人均纯收入年状态表，得到转移概率矩阵。由于状态1与状态5没有出现，可将55阶转移概率矩阵简化为33阶转移概率矩阵，得最后，根据转移概率矩阵求出相应的状态向量，并进行预测，从而得到由区间和概率组成的预测范围。

五、结论

本文采用变起点对传统GM（1，1）模型进行改进，建立一个预测模型群，从预测模型群中结合精度要求和拟合程度要求挑选了最优的8维子序列作为后续的预测模型，然后在此基础上将8维子序列的残差分为了5类，计算了相应的转移概率矩阵，从而得到由区间和概率组成的预测范围。这种方法既提高了预测精度和拟合程度，又增强了预测的可操作性和实用性。

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