基于时变AR模型的瞬时频率测量

周 云，李世平，罗 鹏，周秋平

（1.第二炮兵工程学院，陕西 西安 710025；2.重庆城市职业学院，重庆 402160）

0 引 言

人们为了方便分析，将信号简化为只有一个恒定频率的平稳信号，然而在实际生活中遇到的大多数信号都是频率随时间变化的非平稳信号，因此瞬时频率的概念就显得尤为重要。

瞬时频率的定义最早是由Car son和Fry在研究调频信号时分别提出的，在Gabor提出了解析信号的概念之后，Ville将二者结合起来，提出了现在普遍接受的实信号的瞬时频率的定义，即：实信号的瞬时频率就是该信号所对应的解析信号的相位关于时间的导数[1]。该定义只对单分量信号有意义，针对单分量信号求解瞬时频率目前有多种方法：相位法、谱峰检测法[1]、过零点法、求根估计算法[2]以及Teager能量算子法[3]等。按照上述定义，文献[4]指出，要使多分量信号的瞬时频率有意义，对信号的要求十分苛刻，只有将多分量信号分解为单分量信号后瞬时频率才有意义。因此，基于HHT、局部均值等方法求解瞬时频率的最终落脚点都在求解单分量信号的瞬时频率。该文的研究对象就是非平稳的单分量信号。

1 Hilbert变换求瞬时频率

Hilbert变换求解瞬时频率是相位法求解瞬时频率的一种方法[5]。实信号经过Hilbert变换后变换为解析信号，解析信号是一种复信号，将解析信号的虚部除以实部就得到信号的相位，将信号的相位对时间求导即可得到解析信号的瞬时频率。解析信号的瞬时频率即是信号的瞬时频率[1]。

对某一实信号s（t）经Hilbert变换得到解析信号为

其中：A（t）=[s（t）2+H（s（t））2]1/2

瞬时频率为

通过Hilbert变换求解瞬时频率产生误差的主要原因在于Hilbert变换是通过傅里叶变换得到，在傅里叶变换过程中会产生频谱泄漏和栅栏效应从而使信号失真。并且只有幅值A（t）和相位φ（t）在频域完全分开而没有重叠时将信号变换为解析信号才能表达信号的真实物理意义，从而用式（3）准确求出瞬时频率。

2 W-V分布

W-V分布是谱峰检测法中的一种。1932年，Wigner提出了Wigner分布，最初应用于量子力学研究。1948年，Ville将其引入信号分析领域。1980年，Claasen和Mecklenbraker联合发表的论文详细阐述了Wigner-Ville分布的概念、定义、性质以及数值计算等问题。

Wigner-Ville分布的定义为

Wigner-Ville分布精确地定位了信号s（t）的瞬时频率：

Wigner-Ville分布满足许多优良的时频分布数学特性，如边缘特性，实值性，时、频移不变性，一致性等。但Wigner-Ville分布的不足在于不能保证非负性，尤其是对多分量信号会产生严重的交叉项干扰，使得2个单分量信号在时频平面上相距很远。不包含交叉干扰且具有Wigner-Ville分布聚集性的时频分布是不存在的，如何降低交叉项干扰产生的误差进而提高Wigner-Ville分布估计瞬时频率的准确度是研究的热点问题，可以通过对时间和频率分别加窗的方法来减少交叉干扰[1，6]。同时，为了消除更多的噪声干扰，可对检测信号进行多次峰值检测，即对第1次得到的估计信号进行重构，然后对重构后的信号重复进行峰值检测。经仿真验证可知，此迭代方法能够提高瞬时频率的估计准确度[7]。

3 时变AR模型求解瞬时频率

大量仿真实验证明，AR模型对平稳信号的测频准确度高于Hilbert变换和W-V变换。可以设想：将AR模型用于非平稳信号瞬时频率的测量能否有较高的测频准确度？但AR模型不能处理非平稳信号，而其改进算法时变AR模型却能求解非平稳信号的瞬时频率。

时变AR模型求解瞬时频率的一种方法是通过求根估计算法求解瞬时频率。首先，通过时变AR模型求解信号的参数模型；其次，求解参数模型的根；最后，寻找与单位圆最近的根，求解这个根的频率值。距离单位圆最近根的频率值即是此时刻的频率。通过时变AR模型求解瞬时频率的另一方法是求出功率谱峰值所对应的频率和时间t，这样即可得到信号的频率-时间变化图。本文采用前一种方法。

3.1 时变AR模型建模

设一非平稳过程的观测值 s（t），t=1，2，…，N 满足时变AR模型的条件，则：

式中：p——模型阶数；

ai（t）——t时刻模型参数；

ν（t）——服从N（0，1）且与s（t-i）相互独立的高斯白噪声残差序列。

Grenier提出的时间基扩展方法是对ai（t）参数辨识最为常用的方法，在式（6）的基础上进一步假设ai（t）可分为时间基函数的线性组合:

式中：gj（t）——基函数，可以为多项式基、切比雪夫基、傅里叶基、离散余弦基函数[8-10]。

这样就可以将时变的模型转化为时不变模型。

3.2 时变AR模型求解

利用前后向无约束最小二乘法[2，8，11]，前向预测值为

将式（6）与式（8）相减得前向预测误差为

从而，前向预测误差能量为

仅当p+1≤t≤N时，式（10）才包括所有时变AR（p）模型参数。相应地，后向预测误差为

后向预测误差能量为

仅当 1≤t≤N-p时，式（12）才包括所有时变AR（p）模型参数。总的预测误差能量为

将式（7）、式（9）～式（12）带入式（13）并求解方程组即可求出参数，具体求解方程组过程可参见文献[12]。

3.3 时变AR模型定阶

前面所述的时变AR模型求解是建立在阶数p已知的情况下。然而，实际问题中，阶数p往往是未知的或者根本就不存在确定的阶数p，所以要考虑阶数p的确定。

目前，确定AR模型阶数p的方法包括AIC准则、贝叶斯方法、最大似然估计方法等[2，8]。

3.4 由时变AR模型求解瞬时频率

求解多项式

式中：z=ejw，得到根为 z1，z2，…，zp。

由fi（t）=angle（zi（t））·Fs/（2π）即可得到瞬时频率，其中 zi为 z1，z2，…，zp中距离单位圆最近的值，Fs为采样频率。

4 计算机仿真例

设信号s（t）由2个分段线性调频信号组成

则理论上它的瞬时频率f（t）为

图1为信号的理想瞬时频率，在0＜t＜0.256s时信号的频率单调递增，在0.256s＜t＜0.512s时信号单调递减，在0.256s处的频率为299.8Hz。图2为使用Hilbert变换求解并归一化后的信号瞬时频率，从图2可以看出在信号两端及转折点处都出现了较大的失真，而在中间部分也有震荡情况发生，这与Hilbert变换本身存在的边界效应有关。图3为使用W-V分布求解并归一化后的信号瞬时频率，从图中可以得知可以基本分离出信号瞬时频率的变化趋势，具有较好的时频聚集度，但存在较严重的交叉项干扰。文献[6]证明了不含交叉项干扰且具有W-V分布聚集性的时频分布是不存在的，并且不含交叉项干扰而聚集性充分接近W-V分布聚集性的时频分布一般也不存在。图4为使用时变AR模型求解的信号瞬时频率，采样频率Fs=1kHz，模型阶数p=4，采用gj（t）=tj的基时间函数进行分析。从图4中可以看出，除了在0.256s附近出现了一定偏差外，其他地方效果都不错，与图2和图3相比则有较大的改善。

图1 信号理想频率

图2 Hilbert变换求解瞬时频率

图3 W-V分布求解瞬时频率

图4 时变AR模型求解瞬时频率

5 结束语

本文分析了瞬时频率测量的重要意义、发展现状和目前主要研究方法，通过Hilbert变换、W-V分布和时变AR模型3种方法实现瞬时频率的测量，并比较了3种方法的测量准确度和优缺点。

通过理论推导和实验仿真可以得出：对于单分量信号，时变AR模型测量瞬时频率具有最高的准确度；Hilbert变换具有最明确的物理意义，是最直观、最易让人理解的求解瞬时频率方法，但在两端存在较大的误差；W-V分布具有最高的时频聚集度，但是存在不可避免的交叉相干扰。时变AR模型测量瞬时频率具有的优势将吸引更多的学者进行研究，并解决其存在的阶数难以确定等问题，在以后的应用中有较好的发展前景。

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