一类亚纯函数与其导数分担一个小函数的唯一性

张晓斌

（中国民航大学 理学院，天津 300300）

一类亚纯函数与其导数分担一个小函数的唯一性

张晓斌

（中国民航大学 理学院，天津 300300）

运用Nevanlinna理论讨论了一类亚纯函数与其导数分担一个小函数的唯一性问题，得到的结果推广了张继龙的相关结果.

亚纯函数；分担值；小函数；唯一性

1 引言及主要结果

其中 ama0≠ 0.

1977年，L Rubel等[4]证明了定理：

定理A 设 f是非常数的整函数，如果 f与 f′CM分担2个判别的有穷复数，那么 f =f′.

问题：能否将定理A中CM分担两个值改为CM分担一个值？

本文将证明，对于更一般形式的亚纯函数，定理B的结论仍然成立.

2 主要引理

定义

其中 f( z)是非常数亚纯函数， a( z)(≠ 0,∞)是f的小函数.

引理2[7]设 ()f z是非常数亚纯函数，s、k是两个正整数，则

类似于文献[8]中引理3的证明，可以得到下面5个引理.

引理3 假设F、G、H由式（2）、（3）定义.如果F、G分担1CM以及∞“IM”，并且 0H≡/，则F G≡/ ，且有

对 (,)T r G 有同样的不等式成立.

引理4 假设F、G、U由式（2）、（3）定义.如果 U≡ 0，且 n ＞ m + k+1，则F ≡ G.

再由引理1和引理2得

从而得到矛盾，故 1B=，F G≡ .引理4得证.

庄园内的孤残儿童大都存在生理障碍或心理障碍等问题，因此他们既需要特殊教育的服务，又需要康复的服务，同时在保育过程中也应该贯彻康复和特殊教育的理念，做到特殊教育、康复、养育相融合。为满足特殊儿童的需求，必须给这些儿童提供有针对性的、满足个人需求的服务，必须要以儿童的需求为出发点，多专业对儿童评估，协同为残疾儿童服务。

引理5 假设F、G、U由式（2）、（4）定义，F、G分担1CM，如果 0U≡/，且 1n k＞ +，则

由对数导数引理可得 m( r, u ) = S( r, f)，于是有

由式（6）、（7）即得式（5），引理5得证.

引理6 假设 fj(z)、 gj(z)( j =1,2,… ,n)(n ≥2)是整函数且满足：

若1≤k＜h≤n ，则 fj(z)≡ 0.

可得

3 定理1的证明

注意到

于是有

利用引理2并令其中的 2s= ，结合式（11）得

由引理1得

再由引理5可得

注意到 n ≥ m + k+ 4，由式（12）可得

这是个矛盾，故 0H≡ .类似于文献[8]中引理3的证明，可以得到：

这是个矛盾.

对于ii），由引理7可得定理结论.定理1得证.

4 结束语

本文讨论了亚纯函数与其导数分担一个小函数的唯一性问题，推广了以前的相关结果，为做进一步研究，作者提出下面的问题：能否将定理1中n的下界减小？

[1]HAYMAN W.Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2]YANG Chungchun,YI Hongxun.Uniqueness theory of meromorphic functions[M].Dordrecht:Kluwer Acad Publ,2003.

[3]YANG Lo,YANG Le.Value distribution theory[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[4]RUBEL L A,YANG Chungchun.Values shared by an entire function and its derivative[J].Lecture Notes in Mathematics,1977,599:101-103.

[5]ZHANG Jilong.A power of a meromorphic function sharing a small function with its derivative[J].Ann Acad Sci Fenn Math,2009,34:249-260.

[6]YANG Chungchun.On deficiencies of differential polynomials II[J].Math Z,1972,125:107-112.

[7]ZHANG Jilong,YANG Lianzhong.Some results related to a conjecture of R Bruck[J].J Inequal Pure Appl Math, 2007,8(1):259-269.

[8]YANG Chungchun,HUA Xinhou.Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions[J].Ann Acad Sci Fenn Math,1997,22:395-406.

[9]LAINE I.Nevanlinna theory and complex differential equations[M].Berlin,New York:Walter de Gruyter,1993.

A Power of a Meromorphic Function Sharing a Small Function with its Derivative

ZHANG Xiao-bin
(College of Science,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China)

The uniqueness problem of a class of meromorphic functions sharing a small function with its derivative is discussed by using Nevanlinna theory.The results generalized the related outcomes of Zhang Jilong.

meromorphic function;shared value;small function;uniqueness

1006-7302（2012）04-0001-05

O174.52

A

2012-09-20

国家自然科学基金资助项目（No.11171184）；中国民航大学科研启动基金资助项目（No.2011QD10X）

张晓斌（1983—），男，山东蓬莱人，讲师，博士，从事复分析研究.

熊玉涛]