浅谈积分概念的本质及内在联系

徐志科

（中原工学院 广播影视学院，河南 郑州 450000）

浅谈积分概念的本质及内在联系

徐志科

（中原工学院 广播影视学院，河南 郑州 450000）

首先，分析积分概念的本质是某种和式的极限；其次，把这个本质运用在各类积分中，并探讨了各类积分的关系及积分的计算；最后，谈谈积分的应用.

积分；极限；原函数

要深入透彻地理解学过的知识，在学习的时候，就要善于归纳小结.什么叫“深入透彻”？简单说来，就是要领会概念、理论的本质，并了解知识的内在联系.要做到这点必须多多思索.我们就积分学来谈谈这个问题.

在《微积分》课程的学习中，积分的学习是学生觉得比较困难的，首先，积分运算是微分运算的逆运算，逆运算难于正运算，计算难；其次，积分概念结构复杂，概念抽象，理解难；最后，积分方法应用广泛，是解决实际问题的有力工具，运用难.不过作者认为只要抓住积分概念的本质及内在联系，就可以实现以点带面的学习.

1 抓住各类积分概念共同的本质属性

在《微积分》中，我们分别学习过一元函数定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分（这里先撇开不定积分不谈），各类积分来源于不同的现实模型.究竟积分概念的本质怎样？各种积分有什么内在联系？我们撇开其具体内容表象，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就可以抽象出各类积分概念共同的本质属性.

设在某一“区域”G定义了点函数f(P)（这里“区域”广义地理解，后面将加以说明），我们定义f(P)在G上的积分：

（1）将G任意分割为n个子域σk，大小为△σk(k=1,2,…,n)；

（2）在每一子域σk中任意取点Pk；

如果不论G怎样分割、Pk怎样取法，这和数当最大子域的直径δ趋于零时存在极限，这极限就称为f(P)在G上的积分.

这样看来，积分概念的本质是某种微元和式的极限，而构成定义的要素是：任意分割、任意取点、求和、取极限.

为什么有各种类型积分？“区域”G的选择正是产生各种类型积分的原因.在一维数轴上，取“区域”G为区间[a,b]，被积函数为一元函数f(x)，上述积分即为定积分；在二维平面上，“区域”G可以取一般平面区域，也可以取平面曲线，被积函数为二元函数f(x,y)，就相应地有二重积分、平面线积分；在三维空间，情形就更复杂些，G可以取空间立体、空间曲线或空间曲面，就相应地有三重积分、空间线积分或面积分.

2 抓住各类积分计算的内在联系

抓住了各类积分及不定积分与定积分关系，就可以从本质上解决积分的计算问题.

2.1 各类积分之间关系的论证

牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、斯托克斯公式、高斯公式在本质上所反映的是不同维空间同一个数学关系，即它们都是将某一积分域上的积分用该积分域的“边界”的另一类积分表示出来.一维空间的牛顿-莱布尼茨公式纵向发展成二维空间的格林公式，它把二重积分和线积分联系起来，格林公式横向推广为斯托克斯公式，斯托克斯公式把线积分和面积分联系起来，斯托克斯公式纵向发展成三维空间的高斯公式，高斯公式又把三重积分和面积分联系起来，而二重积分、三重积分最终都化为定积分的计算，所以不管哪一类积分的计算，最后都归结为一维空间定积分的计算.

各种积分计算上的联系怎样？就二重积分说，我们总化为累次积分来计算：

从上式看，如果掌握了定限技巧，二重积分就化为定积分问题；三重积分也一样；线积分可以直接化为定积分；而面积分是先化为二重积分，再化为定积分，这样，关键就在于计算定积分.

2.2 不定积分与定积分关系的论证

积分存在定理告诉我们，当被积函数在G上连续时，积分一定存在，正因为积分存在，实际计算上我们可以不必任意分割、任意取点，而可以特殊分割、特殊取点.例如，用定义计算定积分时，可以采取等分与取端点的方法.但这种计算方法在实际操作中是非常难，不可行的.

不定积分概念是某函数在区间I上所有原函数的集合，而定积分概念是一种“微元和式的极限”值，本来是两个完全互不相关概念,但牛顿-莱布尼茨公式建立了不定积分与定积分之间的联系，用原函数统一了积分与微分的关系，彻底解决了定积分的计算.

设F(x)是f(x)的一个原函数，由牛顿-莱布尼兹公式：

定积分又归结为不定积分.这样，各种积分的计算都归结为不定积分的计算.同学们，这样看来，不定积分是何等重要，必须努力掌握不定积分的基本运算，并且注意不要过多依赖积分表.应该指出，不定积分还有其他广泛的应用.

我们再就牛顿-莱布尼兹公式，谈谈怎样深入地理解理论.我们知道，原函数与定积分的概念是作为导数与微分的逆运算提出来的，正是牛顿-莱布尼兹公式建立了定积分与不定积分的深刻的本质联系.因为F'(x)=f(x)，因而公式可以改写为

这一公式把导数与积分联系起来，指明微分与积分是互为逆运算的关系.导数与积分是微积分学二个最基本的概念，求导与求积是二种最基本的极限过程，这就使得牛顿-莱布尼兹公式成为整个微积分学的枢纽.应该知道，不定积分是作为导数的逆运算的概念而引入，这与牛顿-莱布尼兹公式揭示的导数与积分互为逆运算的关系，是根本不同的.同学们必须把定义与定理、概念与理论区别清楚.

上面谈的是定积分与不定积分的内在联系.在理论上，其他各种积分也有深刻的内在联系.例如，格林公式体现了平面线积分与二重积分的内在联系.

3 理解积分的应用

〔1〕许娟娟.微积分教学中学生思维品质的培养[J].赤峰学院学报(自然科学版),2011（12）：27-29.

〔2〕萧树铁.大学数学 微积分(一)[M].北京：高等教育出版社,2003.

〔3〕刘玉琏.数学分析讲义（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔4〕谢芳.《微积分》课程中积分的学习[J].高校理科研究,2010（12）：68.

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1673-260X（2012）06-0008-02