“电路理论”课程中耦合电路的谐振问题讨论

赵艾萍，张 峰

(上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海200240)

“电路理论”课程教学中，对于耦合电感和串并联谐振的介绍通常是按知识点单独进行的［1-3]。例如，讨论线性耦合电感元件时，除了推导其端口电压—电流关系之外，还会介绍一些去耦等效的方式，尤其是T型去耦的应用;而在谐振电路的分析讨论中，往往会强调谐振网络的端口特性、品质因数［4]或能量问题［5]。部分学生对这些概念的理解不够精准，反映在解题过程中会出现各种问题。本文针对考生在一道电路考研试题的求解中所出现的问题，分析其成因，并提出了相应的解决办法。这个典型例题有助于学生正确理解谐振和耦合的概念并掌握其分析方法，也可为“电路理论”教学工作中重要知识点和难点内容的融合交叉及其分析提供借鉴。

1 问题提出

［例1] 图1所示的正弦稳态电路中，已知I=I1=I2，电感之间存在耦合关系。当R2=100Ω，ωM=100Ω时，虚线框内组成的并联电路达到谐振，试求此时电路中的R1和X1。

图1 例1电路

不少学生出现了以如下错误求解思路。

(1)将T型去耦等效电路代之原电路，如图2所示。

图2 例1电路的T型去耦等效电路一

(2)根据主电路电流和两支路电流大小相等且此时并联谐振，得出:“并联的两条支路阻抗实部相等、虚部相反”的结论。从而求得R1=R2，进而再根据其它已知条件求得X1。

乍看之下，该解题思路非常巧妙，但却是错误的。这是什么原因呢?究其原因是对去耦之后的电路谐振的理解不正确。即上面带引号的结论有误。

根据电路理论知识，谐振的外在表现是端口电压和端口电流同相，即图1中同相.然而去耦之后的图2电路中，所以去耦之后的虚线框电路并非发生了并联谐振，也就不能按照上面的解题思路求解阻抗参数。

2 问题分析

为了进一步讨论，可以把图2重新改画成图3所示的电路。

3例1电路的T型去耦等效电路二

图3中的虚线框内部是耦合电感去耦等效电路，注意由题意可知原电路并联谐振的表现是与同相，以电压为参考相量画出此题的电路相量图如图4所示。

图4 例1电路的相量图

12有60o，容性支路电流超前有60o，所以在图1中两条并联支路的阻抗模相等|Z|=UAB/I1=UAB/I2，阻抗角(即端电压超前对应支路电流的角度)互为相反φ1=60o=－φ2。再根据图3中感性阻抗jωM上的电压超前电流有90o。由于U·，所以利用相量图可以得出:超前，它与支路电流和的夹角不再相等。也就是说，图3中去耦之后的A-A'之间的两条并联支路的阻抗角并非相反。

可见，正确地画出电路中各电量的相量图，有助于正确理解题意，从而可以得出正确的判断。

3 问题求解

遇到谐振问题，最有效最直观的方法还是画出电路的相量图以帮助理解。原题电路去耦之后的等效电路如图3所示，求解过程如下。

对于容性支路，有Z2=R2－jX2=|Z2|∠-60o=，则R2=|Z2|cos(-60o)，于是可得|Z2|=100/cos(-60o)=20Ω。

解得:R1=13.4Ω，X1=223.2Ω。

当然，也可以根据相量图直接求解，特别是习题中某些相量之间构成直角三角形的情况。下面的例题将介绍这一内容。

4 同类讨论

上述例题由于融合了谐振和耦合这两个较难的知识点，所以求解过程中对基本概念的正确把握显得至关重要。使用相量图辅助分析和计算将是非常直观有效的方法。

为了进一步加深对谐振和耦合这两个知识点融合交叉题型的理解和掌握，并学习掌握如何运用相量图辅助直接解题的方法。笔者给出了另一例题及其简要分析，以供教学参考。

［例2] 图5所示正弦稳态电路的ω=104rad/s。已知电压表V的读数为100 V，主路电流表A的读数为2A，且电路发生并联谐振。求电容C的值和各支路电流表的读数。

为了便于讨论，添加端点标识和各支路电流变量，并将耦合电感去耦等效如图6所示。

图5 例2电路

图6 例2电路的去耦等效电路

已知UAB=100V，I=2A，故I3=1A，I'=I－I3=1A。且超前为90°，也即超前为90°。

根据相量图可知，有

7例2电路的相量图

此例中，相量图不仅可以帮助学生正确理解题意，还可以简化电路计算，辅助直接求解。

特别需要强调的是，在此类融合了耦合电感的谐振习题中，要仔细观察谐振发生的部位。在去耦之前一定要明确哪两个电量(即谐振支路的端口电压与端口电流)同相，去耦之后的电路中，这两个同相的电量有可能依然是同一端口的电压和电流(如图6中的与)。也有可能不再是同一端口的电量(如图3中的与)。

所以结合去耦电路和电路相量图，可以较为直观地理解和分析各电量之间的关系，从而得出正确的结果。

5 结语

谐振和耦合一直是“电路理论”教学中两个重要的知识点，在教学中不仅要求学生掌握每个知识点的基本概念，还要通过一定的例题让学生充分理解并掌握。本文针对学生求解融合了谐振和电感耦合两个重要知识点的题目时易出现的错误及其原因进行了分析，阐述了此类问题的求解方法，强调了应用相量图可以使此类问题的分析求解更加直观和易于理解，甚至方便直接计算。

［1] 陈洪亮，张峰，田社平.电路基础［M] .北京:高等教育出版社，2007

［2] 邱关源，罗先觉.电路［M] .北京:高等教育出版社，2006

［3] 李瀚荪.简明电路分析基础［M] .北京:高等教育出版社，2002

［4] 田社平，陈洪亮，张峰.电路品质因数的计算［J] .南京:电气电子教学学报，2010，4

［5] 汪小娜，周永红，单潮龙，王向军.关于谐振电路中能量问题的讨论［J] .南京:电气电子教学学报，2011