机器人机构学理论进展的哲学思考与认识

杨廷力 沈惠平 刘安心 罗玉峰

(1常州大学，江苏 常州 213164;2.解放军理工大学，江苏 南京 213007;3.南昌大学，江西 南昌 330031)

0 前言

机械系统经历了蒸汽化时代、电气化时代之后，进入了信息化时代，以机器人与数控机床为代表的信息化机械系统的发展推动着现代机构学的发展。150多年以来，机器人机构学发展先后形成了基于杆－副单元的机构学理论体系(德国学派)，基于Assur组的机构学理论体系(俄国学派)，以及基于回路单元的机构学理论体系(美国学派)，现在进入了构建现代机构学的新时期。近20多年来，机器人机构学研究取得了突破性进展，作者提出且已形成基于单开链单元的机器人机构学新理论体系，即，基于单开链单元的机构拓扑学、运动学与动力学三者统一建模的系统理论与方法。［1］

机构学理论的突破性进展总是伴随着研究方法的变化，文章试图在机构学理论进展的更高层面的方法论方面进行思考与理解，以期对相关科学、学术研究有所启示。

1 机器人机构学理论体系的基本架构

1.1 理论物理学体系的基本架构

爱因斯坦认为:“构成理论物理学完整体系的是概念和被认为对这些概念确立的基本定律，以及经过逻辑推理而获得的结论……”，“这些不能通过逻辑过程进一步还原的基本概念和假设组成了理论的实质部分，它们是推理所接触不到的。一切理论的崇高目标就在于使这些不能再还原的要素尽可能简单和少……”，［2］图1是对这段论述的一种理解方式。

图2 机构学理论体系的基本架构【1】

图1 理论物理学体系的基本架构

1)基本概念是导出基本定律以及其他结论的基石，影响整个理论体系。

2)基本概念是不能通过逻辑推理导出的，应尽可能简单和少。

3)基于基本概念导出的基本定律是物理学理论架构的骨干，具有简洁性。

4)基于基本定律、根据逻辑推理提出的基本方法，具有普遍性。

1.2 机构学理论体系的基本架构

由机构学理论进展可知，机构学理论体系的基本架构如图2所示。

机构学理论体系的核心内容如下:

1)3个新概念:尺度约束类型、POC集、SOC单元。［1，3］

2)3个拓扑学基本方程:串联机构POC方程、并联机构 POC 方程、DOF 公式［1，3－4］，这些拓扑学基本方程揭示了机构拓扑结构、POC集与DOF三者之间的映射关系(图3(a))。

3)基于“SOC单元”建模的机构运动学方程［5－9］，这些运动学方程揭示了机构尺度参数、运动输入与输出三者之间的映射关系(图3(b))。

4)基于“SOC单元”建模的机构动力学方程［5－6，9］，这些动力学方程揭示了机构惯性参数、输入扭矩与工作阻力三者之间的映射关系(图3(c))。

图3 机构学基本方程的映射关系【1】

2 基本概念——理论体系的基石

2.1 引入新概念的必要性

基于非逻辑思维引入的3个新概念是构建机构学理论体系的基石。

1)尺度约束类型用于描述机构拓扑的几何结构［1，3］，如图 4 所示。

图4 尺度约束的6种基本类型

引入尺度约束类型的必要性:

①使机构拓扑结构具有运动过程不变性，是导出POC方程的依据之一。

②使机构拓扑结构与定坐标系和运动位置无关，是导出POC方程的依据之一。

2)POC集用于描述两构件运动的相对方位特征。［1，3］

POC集包含的信息有运动输出类型、独立运动输出数和运动输出的方位特征。

①POC集是机构的基本功能之一，是构建POC方程的依据之一。

②POC集与定坐标系和运动位置无关，是导出机构POC方程的依据之一。

3)SOC单元用于描述机构拓扑的有序结构。［1，3］

引入单开链单元的必要性:

①只需构建串联和并联机构的POC方程，可确定机构任意构件的POC集。

②基于SOC单元的机构组成原理，可建立机构拓扑学、运动学与动力学三者统一建模的机构学新理论体系，它区别于已有的基于杆－副单元构建的机构学理论体系，基于Assur运动链构建的机构学理论体系，以及基于回路单元构建的机构学理论体系(图5)。

图5 机构组成原理与机构学理论体系

2.2 新概念的特点

1)基于非逻辑思维提出的3个新概念，不能由现有知识通过逻辑推理得到。

2)提出新概念是一个定性分析过程，又是一个从经验升华为概念的抽象思维过程。

3)基于3个新概念导出机构学基本方程，影响遍及整个理论体系。

4)基于非逻辑思维提出的新概念一般源于直觉、灵感与顿悟等，具有偶然性;对美的欣赏、理解与共鸣能激发出新的直觉与灵感，因为大自然的多样性之美、情感的纯真之美与科学中心法则的简洁之美是相通的;新概念的出现有一个孕育过程，也总会伴随一个饶有趣味的故事。

3 中心法则——理论体系的支柱

基于概念确立的基本定律(或称中心法则)是理论体系架构的支柱(图1)，中心法则可以是定量公式，半定量公式或定性规则。以下论述发现中心法则的简洁之美的基本思想。

3.1 系统的不变性(量)

基本思想:系统不变性(量)与基本规律的对应性。

“万物的不断变化是绝对的，但需要找出变化中保持不变的规律，无论是社会科学还是自然科学，都会寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量”。

例如，对于机构学，机构的拓扑结构具有运动过程不变性(对非奇异位置)，相应地，发现多种拓扑结构特征不变量及其数学表示［1］如下:

其中，确定不变量POC集的POC方程和确定不变量DOF的DOF方程成为机构拓扑学的基本方程组。

3.2 非线性问题的线性化

基本思想:非线性问题的线性化及映射关系。

运动过程的非线性问题通过微分转化为瞬时线性问题，可由线性运算得到瞬时解，但应通过较简单的映射关系，将瞬时线性解化为非线性问题的解。

例如，机构拓扑综合3种方法的基本思想都是非线性问题的线性化方法，其差别在于如何将瞬时线性解映射为运动过程的非线性解。

1)基于POC集的方法得到线性解，再通过VC集与POC集的对应性原理，得到非线性解，即非瞬时机构，该方法能覆盖位移子群机构和子流形机构(图 6(a))。［1，5］

2)基于位移子群的方法得到线性解，再通过指数映射得到非线性解，即非瞬时机构，但该方法尚不能覆盖子流形机构，因该类机构不存在指数映射关系(图 6(b))。［1，5］

3)基于螺旋理论的方法得到线性解(瞬时机构)，需判定其非瞬时性，但尚未给出判定的一般方法(图 6(c))。［1，5］

图6 机构拓扑综合方法的基本思想【1】

3.3 几何化与代数化

基本思想:几何化提供更多的信息。

大自然界是几何化的，而代数形式仅是几何化世界的一种理解方式，几何化有利于揭示更简洁的中心法则。

例如，引入尺度约束类型使机构拓扑结构几何化，引入POC集使运动方位特征几何化，从而使机构的拓扑结构和POC集皆与运动位置无关，并由此导出POC方程及其几何化运算规则。

基于POC集的方法可视为描述机构运动副轴线的线矢簇(表 1)的几何方法［1，5］，与定坐标系无关，亦与机构运动位置无关;而基于Plucker坐标的螺旋理论方法是描述线矢簇的代数方法［10］，与定坐标系有关，亦与机构运动位置有关。

3.4 系统论

基本思想:借助子系统探索系统功能与结构之间的映射关系。

该方法涉及子系统的划分方式、子系统的有序性、子系统中心法则与系统整体中心法则之间的映射关系等。

表1 线矢和旋量在不同几何空间下的最大线性无关数

1)子系统的划分方式。如，以Assur组、杆－副、回路或SOC分别为机构的子系统，如图7所示可分别揭示机构的若干拓扑结构特征(表2)。

2)子系统的有序性。如，以SOC为子系统且考虑其有序性，可揭示机构新的拓扑结构特征(表 2)［5，9］。

3)子系统的对称性。当子系统类型具有对称性时，得到 DOF 公式为:［1，4］

当子系统类型具有非对称性时，得到DOF公式为［1，4］:

而式(1)仅为式(2)之特例。

表2 子系统的层次结构与机构拓扑结构特征［5］

3.5 机构学与数学

基本思想:在非常复杂的物理现象中提出其精髓，然后把这种精髓通过很简单但深入的想法，用数学方法表示出来。

机构学与数学之间的关系:

1)数学方法的直接应用。如，将图论、线性代数、螺旋理论、李群、微分流形、多顶式理论、迭代法、连续法等，直接用于解决机构学问题。

2)数学方法与机构学规律相结合。如，Newton迭代法与有序SOC单元的拓扑结构结合，使方程维数降为最低，有利于迭代法得到全部实数解。［7，9］又如，对 6R 串联机构的逆位置问题:基于5R串联机构的逆位置解的唯一性，用一维搜索得到全部实数解。［8］

3)对相关数学方法的拓宽与改进。

①对图论有关概念与理论的拓宽。将机构组成原理以及揭示的拓扑结构特征，分别抽象为图论的有关概念、理论与有关算法等，从而拓宽了图论的有关概念、理论与有关算法，如图7所示。［11－12］

图7 拓宽图论的相关概念

②对消元法的改进。在Grobner基法和吴文俊消元法的基础上，提出主项解耦消元法［13－14］，其主要特点如表3所示。

④对集合论有关概念与理论的改进。数学集合不含非独立元素，而机构拓扑学的POC集含非独立元素。因此，POC集的“并”与“交”运算规则包括独立元素判定准则(表4)，数学集合的“并”的维数公式仅是POC集“并”的维数公式的特例。［1］

表3 3种消元法的主要特点［13］

表4 含非独立元素的集合及其运算［1］

4 结论

基于单开链单元的机构学新理论体系的研究进展，文章对其研究方法进行了较系统的分析与总结:

1)机构学理论应阐述机构系统的总体结构与性能之间的关系，并进一步揭示它与其他学科知识的相互关系。

2)基于非逻辑思维引入的3个新概念(尺度约束类型、POC集、SOC单元)是机构学新理论体系的基石，其影响遍及整个理论体系。

3)基于单开链单元导出的机构拓扑学、运动学与动力学基本方程是机构学新理论体系的支柱，是机构拓扑学、运动学与动力学设计方法的理论基础。

4)揭示简洁中心法则的基本思想包括以下方面:揭示系统的不变性(量)，拓扑结构的几何化，非线性问题的线性化，系统单元的层次结论、有序性与对称性，数学与机构学内在规律的结合以及对数学方法的改进等，机构学理论进展总伴随着研究方法的变化。

5)机构学的任何一种理论都是对机械系统的不同理解方式，未来一定会出现新的理解方式，即高一层的更具有简洁之美的理论体系。

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