板坯连铸鼓肚变形挠度及变形阻力计算模型

徐荣军

(宝山钢铁股份有限公司研究院，上海201900)

板坯连铸鼓肚变形挠度及变形阻力计算模型

徐荣军

(宝山钢铁股份有限公司研究院，上海201900)

本文从平板理论出发，考虑高温蠕变，推导出坯壳在钢液静压力和温度场的共同作用下承受均匀载荷的四边简支矩形板和四边固支矩形板坯鼓肚模型的挠度解。从鼓肚变形能出发，推导出计算鼓肚变形阻力的解析模型。通过工程实例和实测分析讨论了承受均匀载荷的四边简支矩形板、一对边简支另一对边固支矩形板、和四边固支矩形板坯鼓肚模型的适用性，后两者都适合鼓肚变形挠度计算。

连铸;鼓肚变形;鼓肚变形阻力

0 前言

现代板坯连铸机生产过程中，随着拉坯速度的提高和冶金长度的不断加长，铸坯在离开结晶器下口后，当板坯通过二次冷却区两个夹辊之间，铸坯在内部未凝固的钢水静压力作用下必将产生鼓肚变形，过大的鼓肚变形会引起铸坯内裂等现象。因此，连铸板坯的鼓肚变形分析对连铸机的设计及生产等具有重要的实际意义。

目前国内常见的坯壳鼓肚变形量的几个近似公式在文献［1］中已给出综述和评价，公式大多把连铸坯壳视为承受均匀载荷的连续梁，认为坯壳的鼓肚变形完全是弹性的。而实际宽面坯壳应当是薄平板，且有在高温下的蠕变特性，用粘弹性薄板模型表述应当是合理的。作者［2］曾将两夹送辊间坯壳视为全凝固侧固支，未全凝夹辊侧视为简支的承受均布载荷的等厚度弹性板，并考虑蠕变的影响，求出其鼓肚变形量和鼓肚变形阻力的解析解。

由于视为薄板的铸坯边缘的支撑边界条件复杂，假设的条件不一定完全符合工程实际情况，除了作者［2］已讨论的一对边简支一对边固支的边界条件，视为薄板的铸坯其符合工程意义的支撑边界条件尚有:四边简支和四边固支的边界条件。本文试图从平板理论出发，考虑高温蠕变，推导出坯壳在钢液静压力和温度场的共同作用下承受均匀载荷的四边简支矩形板和四边固支矩形板坯鼓肚模型的挠度解。从鼓肚变形能出发，推导出计算拉坯阻力的解析模型。并分析讨论承受均匀载荷的四边简支矩形板、一对边简支另一对边固支矩形板和四边固支矩形板坯鼓肚模型的工程适用性。

1 四边简支的板坯鼓肚模型

1.1 基本方程

根据坯壳的实际凝固状态，将坯壳视为一不均匀的温度场，且承受均布载荷(钢水静压力)的矩形薄板，由于板坯宽度远比辊距大，所以铸坯边界对内部影响根据圣维南原理可忽略不计，因此其力学模型为:把坯壳视为四边简支承受均布载荷，坯壳温度场沿坯壳厚度方向线性变化的矩形板。图1为简支平板挠度计算模型。平板的小挠度曲面微分方程为

图1 四边简支平板挠度计算模型Fig.1 Model of deflection calculation for four-side simply-supported rectangular plates

边界条件

式中，B为坯壳承受静载荷的有效板坯宽度，mm;l为辊间距，mm;D为平板的弯曲钢度，N

其中，E为弹性模数;S为坯壳厚，mm;υ泊为松比。

1.2 挠曲方程的求解［3］

代入相应的边界条件，整理得挠曲面的近似解

应用双曲函数表，就能计算任一点的挠度。最大挠度在板的中心(x=0，y=0)处，在这里，最大挠度为

双曲函数的级数收敛得非常快，只取第一项就已足够精确。采用公式(3)可以把板坯的最大挠度表示成如下形式

其中，α为一数值因子，其值可以在表1中查得。

表1 承受均匀载荷的四边简支矩形板的数值因子αTab.1 Numeric factor of four－side simply-supported rectangular plates which bear even load

2 四边固支的板坯鼓肚模型

2.1 基本方程

其力学模型为:把坯壳视为四边固支承受均布载荷，坯壳温度场沿坯壳厚度方向线性变化的矩形板。图2为四边固支平板挠度计算模型。

平板的小挠度曲面微分方程为

边界条件

图2 四边固支平板挠度计算模型Fig.2 Model of deflection calculation for four-side fixed support rectangular plates

式中参数意义同上。

2.2 挠曲方程的求解［4］

四边固支矩形板挠曲方程的求解过程比较复杂，首先对四边简支矩形板问题求解，然后按照叠加法原理在四边简支矩形板的挠度上叠加各边缘分布的弯矩所产生的挠度。

方形板中心(x=y=0)的最大挠度

对于任意长宽比的矩形板，可进行类似的计算，表2列出了这些计算结果。

采用公式(8)可以把板坯的最大挠度表示成如下形式

其中α为一数值因子，它决定于板的二边长B/l，α的值可以在表2中查得。

表2 承受均匀载荷的四边固支矩形板的数值因子αTab.2 Numeric factor of four-side fixed support rectangular plateswhich bear even load

对于板坯连铸，通常板坯宽度B远大于辊间距l，即B/l＞5，所以α=0.00260。

3 粘弹性的Maxwell模型

以上推导常温下承受均布载荷平板的弹性变形挠度，而板坯是高温条件下在连铸机上运行的，因此必定受到高温蠕变［6］的影响。

相应的，根据Maxwell模型挠度计算的叠加法原理，由文献［2］高温铸坯的挠度公式应该由式(4)和式(9)修正为以下形式

根据矩形平板的对称性和式(3)、式(7)的极佳收敛性，为计算简化，将铸坯的鼓肚曲面表示为

4 矫平鼓肚拉坯阻力

根据文献［2］，小挠度薄板功与应变能的原理可导出高温铸坯蠕变情况下第i对夹送辊矫平坯壳鼓肚阻力

式中符号意义参见文献［2］。

5 计算与讨论

图3为一实际工程中已有方法和四边简支的矩形板、四边固支的矩形板坯鼓肚模型计算的最大鼓肚变形量对比。计算条件:铸机坯宽1 650 mm，厚度235 mm，铸机长度41.23 m，半径R=9 500 mm，拉速1.8 m/min，计算铸坯从结晶器出口直到到凝固完毕的最大鼓肚量，并与目前国内常用的鼓肚量计算模型［7］计算的结果相对比。结果发现四边固支的矩形板板坯鼓肚模型计算的鼓肚量是现有模型的3倍左右。而四边简支的矩形板鼓肚模型是四边固支的矩形板板坯鼓肚模型计算的最大鼓肚变形量的5倍，且是原有模型的15倍，其最大鼓肚量达到2.3 mm。

图3 最大鼓肚变形量计算值对比Fig.3 Contrast among calculated values of maximum bulging deformation

图4为一实际工程中已有方法和四边简支的矩形板、四边固支的矩形板板坯鼓肚模型计算的累计鼓肚阻力对比。计算铸坯从结晶器出口直到到凝固完毕的累计鼓肚阻力，并与目前国内常用的鼓肚阻力计算模型［7］计算的结果相对比。四边固支的矩形板板坯鼓肚模型计算的累计鼓肚阻力是现有模型的2.1倍。而四边简支的矩形板鼓肚模型计算的累计鼓肚阻力是现有模型计算的累计鼓肚阻力的2.4倍。

图5为一实际工程中已有方法和四边简支的矩形板、四边固支的矩形板板坯鼓肚模型计算的累计拉坯阻力对比。根据作者对拉坯阻力与实测值结果，原有模型计算值和实测值相比呈负偏差－59.8%。四边固支模型计算值和实测值相比呈正偏差+10.1%，而四边简支模型计算值和实测值相比呈正偏差+26.0%。通过拉坯阻力的验证，说明四边简支模型的铸坯鼓肚量计算结果偏大，而原有模型的铸坯鼓肚量计算结果偏小，四边固支模型的铸坯鼓肚量计算值较为符合真实情况。

从四边简支的矩形板、四边固支的矩形板板坯鼓肚模型，和一对边简支另一对边固支矩形板板坯鼓肚模型中可以看到，对于板坯连铸而言，通常情况下板坯宽度总是远大于辊间距，通常B/l≥5，此时四边固支的矩形板和一对边简支另一对边固支矩形板的数值因子α都等于0.00 260，但四边简支的矩形板的数值因子α等于0.013 02，根据，在同样条件下，采用四边固支的矩形板和一对边简支另一对边固支矩形板鼓肚模型计算的最大鼓肚量是相同的，说明这两种模型是相同的。但采用四边简支的矩形板板坯鼓肚模型计算的板坯最大鼓肚量将是上述两种模型的5倍，这样根据铸坯鼓肚阻力的计算，它将大于上述两种模型的鼓肚阻力，与实测结果不符，因此采用四边简支的矩形板板坯鼓肚模型对于板坯连铸是不合适的，但四边固支的矩形板和一对边简支另一对边固支矩形板板坯鼓肚模型，均可较好的描述连铸板坯实际鼓肚的情况。

6 结论

从平板理论考虑高温蠕变推导出坯壳在钢液静压力和温度场的共同作用下承受均匀载荷的四边简支矩形板和四边固支矩形板板坯鼓肚模型的挠度解。从鼓肚变形能出发，推导出计算鼓肚变形阻力的解析模型。四边固支的矩形板和一对边简支另一对边固支矩形板板坯鼓肚模型是一致的，通过工程实例计算和现场拉坯阻力实测对比，其均符合连铸板坯鼓肚的真实情况，而四边简支的矩形板板坯鼓肚模型对于板坯连铸不合适，呈现较多的正偏差。

［1］盛义平，孙蓟泉，章敏．连铸板坯鼓肚变形量的计算［J］．钢铁:1993，28(3):20－25．

［2］徐荣军．板坯连铸鼓肚变形行为分析［J］．重型机械，2012(1):17-21．

［3］S．铁摩辛柯S．沃诺斯基．板壳理论［M］．板壳理论翻译组，译．北京:科学出版社，1977:119－125．

［4］S．铁摩辛柯S．沃诺斯基．板壳理论［M］．板壳理论翻译组，译．北京:科学出版社，1977:206－213．

［5］杨耀乾．平板理论［M］．北京:中国铁道出版社，1980:30－35．

［6］GVLIN T F，HACON J，HAZRA L K，et al．The creep properties of carbon steel［C］//British Steelmakers Creep Committee．The Presentation of Creep Strain Data．London:Battersea，1972:37-60．

［7］曹广畴．现代板坯连铸机［M］．北京:冶金工业出版社，1994:102－110．

M odel for resistance calculation of bulging deformation generated in slab casting

XU Rong-jun
(Research Institute，Baoshan Iron＆Steel CO．，Ltd．，Shanghai201900，China)

Based on theory of plates＆shells，the solution of solidified shell deflection under the jointaction in both the static pressure ofmolten steel and temperature field is derived with consideration of the high-temperature creep deformation．Proceeding from the energy of bulging deformation，the analyticalmodel of calculating the resistance from bulging deformation is derived．The applicability of the bulging deformation model for fourside simply-supported rectangular plate，two-side simply-supported and other two-side fixed support rectangular plate，and four-side fixed support rectangular plate under uniform load are discussed on the basis of analysis of project examples and actualmeasured results．The discussion result proves that the latter twomethods are suitable for deflection calculation for bulging deformation．

continuous casting;bulging deformation;drag resistance generated by bulging deformation

TH777.1

A

1001－196X(2012)04－0068－05

2011－12－29;

2012－02－03

徐荣军(1965－)，男，博士，宝山钢铁股份有限公司研究院，教授级高级工程师。