基于量子微粒群的综合孔径圆环阵排列方法

董 健 施荣华 郭 迎 雷文太

（中南大学信息科学与工程学院，湖南 长沙 410083）

引 言

综合孔径微波辐射计是近年来被动微波遥感技术发展的一个方向［1］，它引入了射电天文学“孔径综合”的方法［2］，通过对不同基线干涉测量所得的可见度函数值反演成像，得到观测场景的亮温分布。由于相同基线矢量的干涉测量结果相同，使得天线阵列中的阵元可以减少，天线阵列可以稀疏排列，从而可减小天线体积、重量和接收通道数目，节约硬件成本。所以，稀疏天线阵列的优化设计是综合孔径辐射计的一个重要研究内容。综合孔径天线阵列优化设计的目标通常是采用尽可能少的阵元，获得充分而均匀、具有最小基线冗余度的UV覆盖，从而实现高空间分辨率［1］。对一维综合孔径微波辐射计（如电扫描稀疏阵列辐射计（ESTAR）［1］）而言，通常采用的阵型为最小冗余线阵（MRLA）［1，3-5］；对二维综合孔径微波辐射计（如综合孔径微波成像辐射计（MIRAS）［6］、对地静止合成稀疏阵列辐射计（GeoSTAR）［7］、赫尔辛基技术大学二维综合孔径辐射计（HUT-2D）［8］等）而言，常规采用的阵型包括 U型、T型、Y型等［9-11］。由于局部仍呈线性排布，这些阵型均存在一定的基线冗余。而圆环阵由于其基线零冗余［9］（可获得（u，v）平面最多的空间频率采样点）的特性，近年来逐渐受到关注［12-17］。而且，圆环阵具有阵元平均间距较大（阵元分布于圆周上），易于通过旋转测量增加采样点（无须阵元间相对位置的移动，消除由此引起的结构复杂以及损耗、相差等问题），以及共形、波束旋转对称等特点，这些在毫米波阵列辐射计的工程实际中均具有独特的优势。

与U、T、Y等阵型在（u，v）平面上均匀栅格采样的特点不同，圆环阵属于非均匀栅格采样，这也给反演成像带来了不便。比如，均匀圆环阵（UCA）的UV覆盖在径向上呈外密内疏的分布。这种不均匀的UV覆盖会导致阵列因子呈现较高而且不规则的旁瓣分布，对反演成像不利。为改善其UV覆盖，本文采用量子微粒群（QPSO）算法来优化圆环阵的阵元位置，以改善圆环阵UV覆盖。通过引入量子行为搜索机制，并设计一种新的衡量圆环阵UV覆盖均匀程度的目标函数，与现有方法相比，本文方法的计算复杂度大大降低，全局搜索效率更高，且能更好地度量圆环阵UV覆盖的均匀程度。数值仿真结果验证了该方法的有效性。

1.综合孔径圆环天线阵排列问题表述

设任一天线对形成的基线矢量为

式中λ为波长。干涉测量原理表明，任一天线对的相关输出为对称的空间频率（u，v）和（-u，-v）处的可见度函数采样。那么，天线阵所构成的所有基线便在UV平面上形成了空间频率采样点分布，称为UV覆盖。以下给出阵列排布与UV覆盖之间的关系。

定义N单元天线阵的阵列排布函数（以波长归一化）

式中（xi，yi）为第i个天线单元的位置。那么，UV覆盖，C（u，v），可表述为阵列排布函数的空间自相关［2］

式中:∏（u，v）为二维单位冲击函数，定义为

理论上，N 单元阵在UV平面上有N（N-1）个（u，v）采样点（不计零频采样点），但是由于冗余采样点的存在，实际获得的采样点数目往往少于该值。而且，不同阵列排布方式其UV覆盖的冗余度不同。一维情形下，由于天线单元线性排布的限制，阵元数大于4的阵列均会出现基线冗余。二维情形下，各阵元分布在平面内，则有可能实现基线零冗余。由于局部仍呈线性排布，U、T、Y型阵仍然存在一定的基线冗余（Y型阵冗余度相对较小）。而圆环阵由于消除了这种局部线性，可实现基线零冗余，获得（u，v）平面上最多的空间频率采样。但是，均匀圆环阵（UCA）的UV覆盖在径向上呈外密内疏的分布，这也给反演成像带来了不便。由于圆环阵采样点并非落在规则栅格上，通常采用栅格化处理后进行规则的矩形快速傅里叶变换（FFT）图像反演。UCA的这种不均匀的UV覆盖会导致阵列因子呈现较高且不规则的旁瓣分布，对反演成像结果不利。所以，需要优化圆环阵的阵元位置，以改善其UV覆盖。

令ri=（xi，yi）为圆环阵第i个单元的矢量位置，K为阵元允许位置的集合（本问题中为圆周上的位置），UV覆盖的度量函数为m（r1，r2，…，rN）。那么，圆环阵排列优化问题可表述为如下多变量非线性优化问题:

式中obj.表示优化问题的目标函数。如何设计合理的目标函数，是圆环阵排列优化问题的一个难点和关键。

由于圆环阵排列优化目标函数m（r1，r2，…，rN）往往具有不可导甚至不可解析表达、多极值等特点，常用的梯度搜索算法往往会落入局部最优的“陷阱”，比较有效的一类方法为近二十年兴起的随机优化方法。文献［14］采用模拟退火（SA）算法首先对圆环阵进行优化排布，得到了阵元数N≤12的排列结果。优化后的圆环阵在保持空间频率采样无冗余的同时，使UV覆盖更趋均匀。文献［15］将遗传算法（GA）用于综合孔径圆环阵排列优化，文献［16］将微分进化（DE）算法用于综合孔径圆环阵排列优化，取得了与文献［14］相似的结果。虽然SA、GA、DE等这类智能优化方法具有通用性强、优于梯度搜索的全局寻优能力等特点，但存在以下缺陷:一是这类方法均是基于解空间内随机搜索求解，易出现早熟收敛、全局寻优精度不够等问题。二是现有文献通常采用的圆环阵优化目标函数计算复杂度过大。上述缺陷在一定程度上限制了这些方法在圆环阵（尤其是阵列规模较大的圆环阵）排列优化问题中的应用。鉴于此，本文提出了基于量子微粒群优化（QPSO）算法的圆环天线阵排列方法，通过引入量子行为搜索机制提高全局搜索效率，设计一种新的目标函数来降低计算复杂度，且能更好地度量圆环阵UV覆盖的均匀程度。

2.基于量子微粒群优化的综合孔径圆环天线阵排列方法

2.1 量子微粒群优化

微粒群优化（PSO）算法［18］由Eberhart和 Kennedy在1995年共同提出，其思想是模拟自然界鸟类飞行的群体行为，近年来被用于天线优化设计问题［19-21］。PSO算法利用多个个体组成的群体在解空间内迭代地搜索求解。每个个体（微粒）代表一个候选解，其性能由适应度函数（与优化目标函数关联）度量。每次迭代中，所有个体交换已找到的最好解的信息。每个个体受自身经验和其他个体知识所引导。重复迭代过程，直至群体收敛到全局最优值。

假定解空间是N维实值空间RN，那么，解空间内每个位置x为一个N维实矢量，在实际问题中被映射为具有N个未知变量的候选解。本问题中，对圆环阵阵元位置的优化，可转化为对相应角度位置的优化。因此，N单元圆环阵的阵列排布可用N 维实值矢量表示

式中:θi∈［0，2π］，i=1，2，…，N（单位:弧度）表示每个阵元的角度位置，设定θ1=0.由于变量θ的优化属于连续空间内的优化问题，采用PSO算法优化圆环阵阵元位置。相较于前述圆环阵优化方法，PSO算法的优势体现在:与SA算法［14］单点寻优的特点相比，PSO算法具有多点寻优的能力，即从多个初始解出发同时迭代搜索多个优化解，具有隐并行性；与GA、DE等算法［15-16］相比，PSO算法的进化机制更简单（省却了编码、解码等操作），控制参数的定义也更简单。

经典PSO算法中，粒子运动方程和收敛行为由牛顿力学机制［19］决定，容易产生早熟收敛、全局寻优精度不够等问题。尽管有部分文献［22-23］提出对惯性参数、进化机制等方面的微调来改善这些问题，但均以牺牲算法复杂度或计算成本为代价，且不同程度地降低了收敛速度；此外，引入了更多操作参数，令参数调节过程更为繁琐。本文拟引入具有量子行为搜索机制［24-25］的PSO算法（QPSO），并将其用于圆环阵优化设计。与经典PSO算法不同，在量子空间中，采用波函数来描述粒子的运动状态

式中:E代表粒子的能量；ħ为普朗克常数。波函数ψ（r）可以通过解如下薛定谔方程求得

选择特定势阱分布函数V（r），可求得波函数ψ（r），进而求得粒子运动位置的概率密度函数Q（r）=

由海森堡测不准原理可知，无法同时测量粒子的位置与速度，故QPSO算法中只需要测量粒子位置即可。通过蒙特卡罗仿真过程将量子空间运动粒子的波函数映射到牛顿力学的位置空间，表述为下列函数形式。

式中:x为粒子的位置矢量；P为最优位置矢量；u为（0，1）间均匀分布的随机变量；函数f的形式通过概率密度函数Q（r）求逆得到；L=L（g，u，）为势阱的特征长度。QPSO算法收敛性理论分析［24］表明，只要满足lim∞L（t）=0，所有粒子最t→终将趋于最优位置（最佳解）。

采用基本的δ势阱分布［24］，由此得到的粒子位置更新方程为

式中:k为迭代次数；“±”符号通过随机判断方式选取。由式（10）可知，QPSO算法仅含一个控制参数g（经典PSO算法则需要c1、c2、w、Vmax四个控制参数），该参数影响粒子的收敛速度和全局寻优性能。与经典PSO算法相比，QPSO算法的参数定义和调节更为简单，而且，通过采用量子计算机制更新粒子位置，在不增加计算复杂度的前提下使算法具有更强的全局搜索能力和收敛效率。

2.2 综合孔径圆环阵排列优化目标函数设计

综合孔径辐射计圆环阵排列布以UV覆盖为优化目标，即获得尽可能均匀完整、且具有最小基线冗余的（u，v）采样分布。如何度量圆环阵UV覆盖的均匀程度，即如何设计圆环阵优化目标函数m（r1，r2，…，rN）是一个难点。本文通过对圆环阵目标函数的改进设计，旨在降低现有文献算法的计算复杂度。

现有文献多采用Cornwell所提目标函数［14］

式中:ri=（real（R·ej·θi），imag（R·ej·θi））为第i个阵元的位置矢量，R为圆环阵的半径；Bij为任一天线对（i，j）形成的基线矢量。该目标函数计算（u，v）平面上所有采样点间的距离之和，并使之最大化。文献［14］认为由此目标函数导出的阵列显然具有无冗余的采样分布，且采样点分布尽可能均匀。因为式（11）中，采用距离的对数代替距离本身或距离平方可以“惩罚”相邻很近的采样点。Cornwell目标函数最大的问题在于计算复杂度。从式（11）可以看出，对N单元圆环阵来说，其对应的UV平面基线矢量数目为N（N-1）；又该目标函数需计算任两基线之间的距离，故计算复杂度为O（N4），其中符号“O”表示数量级的概念。而SA、GA、PSO这类优化算法的解空间随机搜索求解的特性，决定了其目标函数计算不能过于复杂。因此，Cornwell目标函数仅适用于阵元数N较小时的圆环阵排列优化情形。

本文试图从圆环阵图像反演的过程出发，提出一种简化的目标函数。由于圆环阵在（u，v）平面的采样点并非落在规则栅格上，通常采用栅格化处理后进行规则的矩形 FFT 图像反演［17，20］。受此启发，可以将圆环阵的UV覆盖离散划分为Ngrid×Ngrid个栅格，且有

式中:操作符“［］”表示取整运算，常数4／π为整个矩形UV覆盖区域与圆环阵圆形采样区域的面积之比。采用式（12）来确定Ngrid值是为了使圆环阵的圆形采样区域近似由N（N-1）个栅格组成。在此意义上，我们认为，最均匀且无冗余的UV覆盖应该是每个栅格中有且仅有一个采样点。同一栅格内的多个采样点被平均后认为只有一个采样点。

由此，定义一种简单直观的目标函数

式中，Neff表示所有栅格内的有效采样点数目总数。相应地，本文方法的优化目标就是最大化有效采样点数Neff.由式（13）易知，目标函数的计算复杂度为O（N2），与式（11）相比，计算复杂度显著降低。

相应地，QPSO算法的适应度函数定义为

式中的负号是因为适应度函数通常定义为最小化目标函数。采用式（14）定义的适应度函数，无疑会大大提高QPSO优化圆环阵UV覆盖的计算效率。

3.数值仿真实例

以阵元数N=9的圆环阵（半径R为单位波长）为例，验证本文所提基于QPSO的圆环阵排列方法的有效性，并比较两种目标函数的性能。仿真实验运行环境:CPU为Pentium IV 2.8GHz，内存1 GB.QPSO算法种群的个体数目为50，最大迭代次数MaxIter=500，参数g参照基本PSO算法惯性参数w，设定如下线性递变方式

式中:a=1；b=0.5.

图1（a）给出了9单元UCA的阵元位置示意图，图1（b）给出了其对应的UV覆盖示意图，可见，UCA的UV覆盖在径向上呈现外密内疏的非均匀分布。按照式（13）目标函数衡量，有效采样点数Neff=48.图1（c）（见421页）给出了 UCA的阵列因子AF（即综合孔径成像系统对理想点源的冲击响应），其第一旁瓣电平（FSL）为-7.18dB.

图2（a）给出了按照Cornwell目标函数，用以前方法得到的9单元优化圆环阵［14］的阵元位置示意图，图2（b）给出了其对应的UV覆盖示意图，其有效采样点数Neff=54.图2（c）（见421页）给出了其对应的阵列因子AF，其第一旁瓣电平为-9.29dB.

图3（a）给出了按照式（13）目标函数，利用QPSO算法得到的9单元优化圆环阵的阵元位置示意图，图3（b）给出了其对应的UV覆盖示意图，其有效采样点数Neff=68.可见，优化圆环阵的有效采样点数大大多于UCA和原优化圆环阵时的情形，且接近于理想值Ntheoeff=9×8=72.这也说明了式（13）目标函数能更好地衡量圆环阵UV覆盖的均匀程度。图3（c）（见421页）给出了该圆环阵的阵列因子AF，其第一旁瓣电平为-11.04dB.可见，优化圆环阵的旁瓣电平明显优于UCA和原优化圆环阵时的情形。

图4给出了QPSO算法的收敛曲线以及与标准PSO算法的比较，可见，QPSO算法很好地克服了经典PSO算法早熟收敛的问题，且保持了较快的收敛速度。收敛曲线比较表明QPSO算法具有良好的全局寻优效率。进一步地，表1给出了N=5～12时UCA与优化圆环阵的Neff值比较。表2比较了N=5～12时，分别采用Cornwell目标函数和式（13）目标函数，每次迭代所需要的时间。从表2可以清楚地看出，Cornwell目标函数的迭代时间随阵元数N增大而呈非线性急剧增长。可见，采用式（13）目标函数其计算时间远小于Cornwell目标函数；而且，阵元数越大，这种计算时间上的优势愈发明显。

图3

图4 QPSO算法的收敛曲线以及与标准PSO算法的比较

表1 UCA与本文方法得到的优化圆环阵的Neff值比较

表2 式（13）目标函数与Cornwell目标函数每次迭代所需时间的比较

4.结 论

稀疏天线阵列设计是综合孔径微波辐射计的一个重要研究内容。圆环阵具有实现（u，v）平面基线零冗余、结构简单以及共形、波束旋转对称等特点，在阵列辐射计工程实际中均具有独特的优势。但是，均匀圆环阵（UCA）的非均匀UV覆盖，对反演成像不利。因此，需要优化UCA阵元位置来改善圆环阵的UV覆盖，但现有圆环阵优化方法均存在计算复杂度过高以及早熟、全局寻优精度不够等缺陷，限制了这些方法在天线工程实际中的应用。

针对这些缺陷，本文提出了基于量子微粒群（QPSO）的综合孔径辐射计圆环阵排列优化方法，来改善圆环阵的UV覆盖。该方法特点在于:一是引入了量子行为的搜索机制，改进经典PSO算法参数控制和位置更新方程，从而在不增加计算复杂度的前提下提高了算法的全局搜索能力和收敛效率，且简化了参数的定义及调节；二是设计了一种新的圆环阵排列优化目标函数，其原理是基于圆环阵的非均匀UV覆盖通常采用栅格化处理然后进行规则的矩形FFT图像反演。与现有方法采用的目标函数相比，该方法的目标函数的计算复杂度大为降低，且能更好地度量圆环阵UV覆盖的均匀程度。数值仿真结果表明:该方法求解圆环阵优化时具有收敛较快、全局寻优能力强的特点，而且由此导出的圆环阵UV覆盖的均匀程度大大改善，对应的阵列因子旁瓣电平明显降低，有利于反演成像。此外，由于目标函数明显简化，算法迭代求解时间相应地大大缩短，因而非常适于求解阵元数较大的圆环阵排列优化情形。本文提出的基于QPSO的圆环阵排列优化情形。本文提出的基于QPSO的圆环阵排列方法对综合孔径微波辐射计的二维天线阵列优化设计具有参考价值。下一步工作将研究不同势阱分布函数和控制参数g对QPSO算法性能和阵列优化结果的影响。

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