“近世代数”课程的教学探讨

卓泽朋，崇金凤

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

“近世代数”课程的教学探讨

卓泽朋，崇金凤

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

近世代数是本科数学专业学生的一门重要的专业必修课，如何提高该课程的教学效果和教学水平，结合自身的教学实际，从教学内容、教学方法和教学手段等3个方面进行了论述.

近世代数;教学内容;群;环;域

近世代数(或抽象代数)是师范院校数学专业本科学生的一门专业必修课，是现代数学的一个重要分支，主要介绍群、环和域3个代数系统.通过这门课程的学习，学生不仅将受到本门课程的基本训练，而且还可以培养科学的思维方式，并为他们进一步学习数学打下扎实的代数基础.从师范教育的角度看，中学的数学内容绝大部分都是属于代数方面的，其中一些最基本的数学概念以及一些初等数学难题，如果没有近世代数的知识是不可能彻底搞清楚的.

我们知道，数、多项式和矩阵的出现是为了刻画一些物理量和几何量，它们具有很强的表现力，使用数、多项式和矩阵足以刻画我们遇到的物理量和几何量.然而，当人们企图刻画对称性—— 无论是物理现象中，还是数学世界中(尤其是在几何图形中)的对称性时，都无法用单个的数、多项式或矩阵去刻画.为了刻画“对称”这一概念，人们发现了群，群是研究对称性的有力工具.由于物理、几何、数学中对称这一概念的特殊重要性，群成为近代数学极其深刻和重要的概念之一.近世代数为现代数学、现代物理学、通信和密码学等提供了重要的结论和研究方法.当今信息时代，近世代数有了越来越多的重要应用，如有限域在编码理论、环和域在对称密码体制中的应用等.该门课程具有高度抽象性和概念特别多等特点，如何教好这门课程？文章结合我校数学科学学院数学与应用数学专业(师范类)的近世代数课程的教学实际，以文献[1]为例，从教学内容、教学方法和教学手段3个方面，阐述笔者在具体的授课过程中总结出的一些经验，以供读者参考.

1 教学内容

1.1 注重主线,选内容

在我校，近世代数课程一直是数学科学学院数学与应用数学专业(师范类)的一门专业必修课，安排在第六学期开设，共72学时.随着我国高等教育改革的不断深入，为了适应当前本科通才教育的办学理念——“宽口径”，必须在大学中增设课程，为此，学院对该专业的教学计划作了一定调整，压缩了一些学时，这样要在72个学时内，详细讲完文献[1]中安排的所有内容是不可能的.因此，根据实际需要和后继课的安排，在不减少授课内容、不降低教学要求的情况下，合理安排教学进度、调整教学内容、灵活安排习题课，充分调动学生的学习积极性，提高课堂教学效果和教学水平.根据这一情况，对近世代数课程的学时进行如下分配，见表1.

教材共分为5章，主要包括群、环和域3部分，当然这3部分也是近世代数最基本的内容，3部分在具体的授课过程中要抓住主线，围绕主线进行教学.群的主线是群同态，同态或同构在比较两个集合时是非常有效的工具;环的主线是理想;域的主线是域扩张.

表1 近世代数学时分配表

1.2 注重与高等代数相关知识的联系

分析数学、代数学和几何学是数学的3大基础学科，在代数学这条线中，高等代数课程起基础作用，近世代数课程起承上启下作用.近世代数中有许多定义或定理可以看作是高等代数中相关定义或相关定理的推广，所以在讲授近世代数某些章节内容的时候，我们会和学生一起回忆以前在高等代数中学过的类似的定义或定理，这样学生在学习这些新定义或新定理时较易于接受，印象也会非常深刻.例如，在讲授教材的第4章整环里的因子分解时，其中很多的结论都可以看作是高等代数中类似结论的推广，如，整除、唯一分解、最大公因子和不可约多项式等.让学生认识到这一点，他们就会觉得各门课程或学科之间并不是独立存在的，而是一个相互联系、彼此相通的有机整体.近世代数其实并不“抽象”，有些问题完全可以用类似于高等代数中的思想方法去解决，比如，唯一分解环的判别定理的证明等.另外，本章第2节唯一分解环和第4节欧氏环教学中，我们首先会告知学生，这两种特殊的整环，其实是大家熟悉的整数环中任一个非零整数都存在唯一分解和带余除法定理在一般整环中的推广，这样会让学生事先对这两种环有了一个大概的认识，在实际学习过程中也不会感觉困难.

1.3 注重实例和应用知识的介绍

在近世代数的实际教学过程中，注重让学生了解近世代数这门课程在现实生活中的主要应用，有意识地引导学生在熟悉的知识中去找一些抽象概念的具体例子，以此来更好地理解这些比较抽象的概念，正像恩格斯指出的“自然界对一切想像的数量都提供了原型”.对于一些抽象概念的学习，我们先给出一些学生熟悉的具体的实例，然后从这些实例中抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题.这个过程体现了由具体到抽象的认识过程，是符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律.同时，给学生介绍近世代数知识在实际生活中的应用，从而让学生充分感受到近世代数这门课程的魅力和实用价值.比如:

(1)在课程的讲授全过程，始终抓住一个具体的实例，即全体整数构成的集合对于普通的加法或/和普通的乘法构成的代数系统.在教材中，从第一章到第四章，该实例共出现了26次(不包括课后习题)，该代数系统是学生非常熟悉的，对学生理解一些抽象的概念，如循环群、整环、零因子、唯一分解环和欧氏环等都有很大帮助.

(2)域是一种特殊的环，需要在一般环的定义中加上许多限制条件，在讲授域的定义的时候，不妨抛开群和环的知识.首先和学生一起回忆全体有理数集合和全体实数集合关于普通加法和普通乘法构成的代数系统所具有的性质.然后，从这两个具体实例中找出它们的共性(关于加法是可交换、可结合、存在单位元0和每个元素都存在负元;关于乘法是可交换、可结合、存在单位元1和每个非零元都存在逆元;加法和乘法是可分配的)，这些共性恰好是域所满足的性质，从而就得到了域的定义.这种方法可以让学生很快就能较好地理解和掌握域的定义及其一些基本性质，有很好的教学效果.

(3)在讲授域的时候，向学生介绍有限域在密码学中的应用.随着计算机科学技术的迅猛发展，信息安全越来越重要，它不仅涉及到军事、政治和外交领域，而且还与我们的日常生活息息相关，信息安全的核心就是密码学，而有限域在密码学中有着非常重要的应用.二元域的构造及在纠错码中的应用、线性反馈移位寄存器序列和布尔函数等都需要用到有限域，这些知识都可以向学生介绍.

1.4 注重历史知识的渗透

兴趣是最好的老师，它永远胜过责任感.了解数学史，可以提高学生的数学学习兴趣、培养学生的创新意识和探索精神[2－3].在日常的教学过程中，介绍一些与授课内容相关的数学史题材，从教学效果来看，这些素材的引入，对学生的学习有很大的促进作用，不仅调动了学生的学习积极性，提高了学生的学习兴趣，而且帮助学生将抽象的概念具体化.

在第2章群论的授课中，学生简单介绍了高次方程(五次和五次以上的方程)的根式解问题.1770年Lagrange发表了一篇论文，探讨了一般三次、四次方程能用根式求解的原因，后来，Ruffini明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解.1824年Abel出版了一本小册子《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，解决了五次和五次以上的一般方程不能用根式求解的问题.之后，数学家面临的一个问题是:什么样的特殊方程能够用根式求解？这个问题被Galois解决了，在解决此问题的时候，Galois给出了历史上最早的“群”的定义，具体地说是置换群的定义.又如，在学习环的理想的时候，我们给学生介绍了物不知其数问题，也即是《孙子算经》中写过的一个问题:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？孙子算经中给出了它的解法，19世纪初Gauss给出了它的一般性定理，因此国际上称《孙子算经》中的问题为“中国剩余定理”.近世代数对此问题有几种形式的推广，主要是用环的理想、直和来表示的.

2 教学方法与教学手段

数学具有高度的抽象性，关于这个特点在近世代数课程中更是体现得淋漓尽致.在近世代数的实际教学中，如何将抽象的概念和问题具体化，从而让学生较容易地接受和理解这些新概念和新定理，教学方法和教学手段的选择是非常重要的.弗赖登塔尔曾经指出:教学要像助产士一般，时刻观察着、联系着她的工作对象，决不可只借用学生的耳朵，而不启动学生的脑子.

教学得法，事半功倍.选择某一堂课的教学方法，我们首先考虑的是这堂课的教学内容和教学目标，如，这是一堂掌握新概念的课？复习课？形成技能的课？概括知识并使之系统化的课？等.对于这些不同的教学内容和教学目标，我们会选择诸如教师讲授、学习讨论和学生自主探究等教学方法.

在近世代数的教学过程中，主要采用启发式的教学模式，经常会通过提出某一个学习问题，引导学生解决它，并从中获取解决问题的经验.如，在讲解代数运算(又称二元运算)的定义时，教材中直接就给出了这个定义，这样学生不容易接受，很难抓住其本质，而我们在讲课的时候，首先让学生回忆数或矩阵的加法、乘法;矩阵的乘法等这些已知的知识，然后提出“它们的共同点是什么”这一问题，让学生归纳:集合 S上的代数运算是一个对应法则，对于 S中的任意两个元素，按照这个法则都有 S种唯一一个元素与其对应，进一步地就可抽象出代数运算的定义.通过这样的方法，学生很容易掌握这个定义.在讲解群、环和域的定义时，都可以使用这种归纳启发式.

同时，注意课堂中的提问技巧.近世代数的课后习题多为证明题，此类命题的真假一般都是确定的，只需学生利用定义或公式进行验证即可.在实际教学过程中，我们经常会向学生提出如下一些问题:“这个结论的逆命题成立吗”“这个命题中，去掉一个条件，该结论还成立吗”“此题还有其他的方法或简单方法证明吗”等等，通过提出这样的问题，让学生进行思考，可以激发学生的发散思维.课堂讲授以黑板演示为主，引导学生跟上教师的讲课思路，特别是推导部分的思路，去理解课程的知识点.少量的多媒体辅助教学:借助电脑和投影仪来演示长篇的概念或定理陈述，避免抄写、重新的归纳结果等.

武汉大学齐民友教授一直教导他的学生:“数学是算懂的，而不是看懂的，当然更不是听懂的.”[4]所以，合理地布置一定数量的作业对于近世代数的学习是非常必要的.近世代数主要以抽象的代数运算去研究抽象的代数结构，这样的研究方法使得不少学生感到学习近世代数无从下手，而通过做习题可以掌握和巩固这些抽象的概念和定理，在做题的过程中也培养了他们分析和解决问题的能力.当然习题的选择我们尽量照顾大部分学生的知识水平，有数量和难度的要求，有一定的广度和适当的深度，尽可能地覆盖所学的内容.除教材中的习题外，我们还编写了含有填空、选择、计算、证明的练习题及复习思考题，为学生开阔思路、复习总结提供参考.

3 结束语

教学实践表明，近世代数的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者必备的基本数学素养之一.理解和掌握近世代数的基本内容、理论和方法，不仅可以加深学生理解数学的基本思想和方法，而且还可以提高学生的抽象思维能力和培养他们的数学修养.对于这门课程的教材选用，我们学院以教材为主，结合教学实践，认为这本教材内容比较精简，例题和课后习题偏少，与高等代数课程联系较少，一些新出现的与群、环和域相关的知识缺乏，也没有实际应用的例子.因而，在今后的教学过程中，我们会编写一本顺应时代发展和适合我校教学实际情况的近世代数教材.

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社，1978.

[2]唐光伦.发挥数学史作用，提高数学教学质量[J].四川文理学院学报:教育教学研究专辑，2008，18:117－118.

[3]卓泽朋，崇金凤.“离散数学”课程的教学探讨[J].淮北煤炭师范学院学报:自然科学版，2009，30(2):82－85.

[4]齐民友.世纪之交话数学[M].武汉:湖北教育出版社，2000.

[5]夏静波，邹庭荣，张四兰.“近世代数”的教学技巧[J].大学数学，2009，25(1):5－8.

[6]丘维声.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社，2003.

[7]石生明.近世代数初步[M].北京:高等教育出版社，2002.

[8]李伯春，侯峻梅，崇金凤.数学教育学[M].合肥:安徽大学出版社，2004.

[9]万哲先.代数和编码[M].北京:科学出版社，1985.

[10]郭华光，徐祥，裴定一.近世代数课程的教学内容的改革与实践[J].广州大学学报:自然科学版，2003，2(6):587－590.

Abstract:Modern algebra is an important specialized course in department of mathematics.How to improve its teaching effect and teaching level.Teaching practice is given from teaching content，teachingmethod and means of instruction in this paper.

Key words:modern algebra;teaching content;group;ring;field

On the Teaching Practice of M odern Algebra

ZHUO Ze-peng，CHONG Jin-feng
(School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

G 642.0

C

2095－0691(2012)03－0080－04

2012－01－16

卓泽朋(1978－ )，男，安徽灵璧人，硕士，副教授，研究方向:密码学及信息安全.