并半连续格的一些性质

王存举

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

并半连续格的一些性质

王存举

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

文章给出并半连续格的概念，讨论并半连续格的一些性质.在并半连续格中引入并半Scott开集簇，用其来刻画并半连续格.

半素滤子;并连续格;并半连续格

0 引言

随着计算机语言中引入连续格的概念后，人们对连续格进行深入研究，把连续格推广到半连续格[1]中得到许多新性质.在本文中，我们在并连续格的基础上，从半素滤子上定义了并半连续格，研究了并半连续格的一些性质，引入了Scott开集簇来刻画并半连续格.

1 预备知识

定义1[1]设 F为格 L的滤子，若对于任意 x，y，z∈L，当 x∨y∈F，x∨z∈F时，有 x∨(y∧z)∈F，则称 F为半素滤子.用 Fi(L)表示所有半素滤子组成的集合.

定义2[2]设(L，≤)是偏序集，对于∀x，a∈L，D⊆L，定义:↓a=｛x∈L:x≤a｝，↑a=｛x∈L:a≤x｝，↓D=∪｛↓a:a∈D｝，↑D=∪｛↑a:a∈D｝，当 D=↓D时称 D为下集，当 D=↑D时称 D为上集.

定义3[3]设 L是完备格，对于 a，b∈L，称 a⇐b，若对任意 F∈Fi(L)，∧F≤a，有 b∈F.记⇓a=｛x∈L∶x⇐a｝，⇑a=｛x∈L:a⇐x｝.若 a⇐a，则 a称是⇐紧元，记 K(L)=｛a∈L:a是⇐紧元｝.

2 并半连续格概念及性质

下面我们先引用文献[4]中并连续格的概念，如果 x∨(∧F)=∧(x∨F)对任意余定向 F和 x都成立，则称并半格 L是并连续格.从而我们结合文献[5]对偶给出下面定义.

定义4 设 L是完备格，对任意 x∈L，F∈Fi(L)，若 x∨(∧F)=∧(x∨F)，则称 L是并半连续格.

定理1 设 L是完备格，若对任意 x∈L，有⇑x是半素滤子.

证明 对任意 x∈L，显然⇑x是上集.对∀a，b∈⇑x，由定义3知，对∀F≤Fi(L)，若∧F≤x，则 a∈F且 b∈F.由 L是完备格且 F是半素滤子知，a∧b∈F，从而 x⇐a∧b.于是⇑x为滤子.下面接着证⇑x是半素滤子.对任意 r，s，t∈L，若 r∨s∈⇑x且 r∨t∈⇑x，则对∀F∈Fi(L)，当∧F≤x时，有 r∨s∈F，r∨t∈F，由于 F是半素滤子，于是 r∧(s∨t)∈F，再由定义3知，x⇐r∧(s∨t)，即 r∧(s∨t)∈⇑x.即证明⇑x是半素滤子.

引理1 设 L为完备格，若 L满足 a≤b蕴含 a⇐b，则称 L是并半连续格.

证明 由定义1知，↑a=｛x∈L:a≤x｝，所以 a≤∧↑a，故 a∨(∧↑a)=∧↑a=∧(a∨↑a)，由a≤b蕴含 a⇐b，所以↑a包含⇑a，所以有 a∨(∧⇑a)=∧⇑a=∧(a∨⇑a)，由定理1知对任意 a∈L，有⇑a∈Fi(L)，从而满足定义4，故 L是并半连续格.

推论1 若完备格 L是并半连续格，当 a≤x蕴含着 a⇐x时，对∀a∈L，有∧⇑a≤a.

命题1 设 L是完备格，则对任意 a∈L，有⇑a=∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.

证明 设 x∈⇑a，即 a⇐x.对任意的 F∈Fi(L)，满足∧F≤a，则 x∈F.从而⇑a⊆∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.另一方面，设 y∈∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝，则存在 F∈Fi(L)，满足∧F≤a，有 y∈F从而 a⇐y.因此有∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝⊆⇑a.所以⇑a=∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.

引理2 设 L是并半连续格，对任意 z，y∈L，若 z≤y蕴含着 z⇐y，则存在 x∈L，使得 z⇐x⇐y.

证明 设 L是并半连续格，若存在 x∈L，则由推论1知，∧⇑x≤x.令 z=∧⇑x，则 z≤x蕴含着 z⇐x.若 x⇐y，对任意 F∈Fi(L)，∧F≤x，有 y∈F，由命题1知，⇑x⊆F，所以 z=∧⇑x≤∧F，即 z≤∧F≤x，也有 y∈F，故 z⇐y，从而说明存在 x∈L，使得 z⇐x⇐y成立.

注1 每个素滤子都是半素滤子.

定义5 设 L是完备格，称 L的子集 U为并半Scott开集，如果 U满足以下条件:

(1)U=↑U;

(2)对任意 F∈Fi(L)，∧F∈U蕴含着 F∩U≠Ø.显然 L上的全体并半Scott开集 U构成了一个拓扑，成为并半Scott拓扑，记为 σ⇐(L).特别地，当并半Scott开集 U是滤子时，称 U是并半Scott开滤子，简称并半开滤子.

定理3 设 L是并半连续格，对任意 x，y∈L，若 x⇐y，蕴含着 x≤y，有下面两个结论成立:

(1)⇑x∈σ⇐(L);

(2)L↓x∈σ⇐(L).

证明 (1)显然对任意 x，y∈L，若 x⇐y，蕴含着 x≤y，则⇑x为一个上集，下面设 F∈Fi(L)，满足∧F∈⇑x，则 x⇐∧F.由引理2知，存在 z∈L，使得 x⇐z⇐∧F，所以 z∈F.故⇑x∩F≠Ø.所以⇑x∈σ⇐(L).

(2)L是并半连续格时，若 x⇐y，蕴含着 x≤y，则 L↓x显然是上集.下面设 F∈Fi(L)满足∧F∈L↓x.接着假设 F∩(L↓x)=Ø，则有 F⊆↓x.但事实上 F是上集，↓x是下集，从而产生矛盾.因此F∩(L↑x)≠Ø.

定理4 设 L是并半连续格，则下面结论等价:

(1)存在并半Scott开滤子 U使得 y∈U⊆⇑x;

(2)x⇐y.

证明 (1)⇒(2)设存在并半Scott开滤子 U使得 y∈U⊆⇑x，则∀F∈Fi(L)，若∧F≤x，则由 U是上集，有∧F≤U，又因为 U是并半Scott开的，所以∃u∈F，使得 u∈U.因为 y∈U⊆⇑x，从而∧F≤x⇐u，因而 y∈F，所以 x⇐y.

(2)⇒(1)由引理1知，“⇐”具有插入性质，所以存在序列｛yn:n∈N｝，使得 x⇐y1⇐…⇐yn－1⇐yn=y.令 U=∪｛↑yn:n∈N｝，则显然是一族递增滤子的并，故 U是滤子.对任意 n∈N，由 yn∈⇑x，有↑yn⊆⇑x，故 U⊆⇑x.下面证 U是并半Scott开的.显然 U是上集，对∀F∈Fi(L)，若∧F∈U，则存在 yn，使得∧F∈↑yn，于是∧F≤yn⇐yn+1，从而 yn+1∈F，所以 yn+1∈F∩U≠Ø，故 U∈σ⇐(L).

推论2设 L是并半连续格，则 U∈σ⇐(L)充要条件是 U=↑U且 U⊆∩｛⇑x:x∈U｝.

证明 由定理4显然.

定理5 设 L是并半连续格，且 k∈L，若↑k是并半Scott开滤子，则 k是紧元.

证明 设 F∈Fi(L)，则当∧F≤k，有∧F∈↑k.因为↑k是并半Scott开滤子，所以存在 d∈F，且 d∈↑k，使得 d∈F∩↑k≠Ø，又因为 F是上集 ，从而对 k∈F，有 k⇐k，故 k是紧元.

[1]RAY Y.Semiprime ideals in general lattices[J].JPure Appl Algebra，1989，56:105－118.

[2]郑崇友，樊磊，崔宏斌.Frame与连续格[M].北京:首都师范大学出版社，2000.

[3]ZHAO D.Semicontinuous lattices[J].Algebra Universalis，1997，37:458－476.

[4]GIERZG，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous lattices and domains[M].Cambridge:Cambridge University Press，2003.

[5]伍秀华，李庆国.拟半连续格和交半连续格[J].模糊系统与数学，2008，22(6):11－16.

Abstract:In this paper，the introduction of the concept of join semicontinuous lattices and some properties of join semicontinuous lattices were discussed and introduction of the concept of join semi－Soctt open collection to described the characterizations of join semicontinuous lattices.

Key words:semiprime filter;join semicontinuous lattices;join semicontinuous lattice

Some Properties of Join Sem icontinuous Lattices

WANG Cun－ju
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

O 153

A

2095－0691(2012)03－0030－02

2012－03－02

王存举(1984－ )，男，安徽宿州人，硕士生，研究方向:一般拓扑学和序理论.