例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用

张桂颖，李武明

（通化师范学院数学学院，吉林通化 134002）

近世代数也叫抽象代数，这门课程是数学与应用数学专业必开的一门重要的基础课，而且对于以后攻读代数学方向硕士研究生的学生来说，近世代数功底的深厚也直接影响着他们今后的学习情况.对于我们这类院校的学生来说，近世代数具有严密的逻辑性和特有的抽象性，学生很难学透，即使像群、子群、环、子环这样的基本概念，学生要想真正掌握也非常吃力.许多学生对近世代数产生了畏难甚至厌恶情绪，再加上学时有限，要想让学生在这有限的学时内较好的掌握近世代数的内容要领，在讲课方法上必须仔细揣摩.

实际上对于大学的数学课都适合运用由具体到抽象原则的讲课方法，尤其对于抽象的近世代数课程，在讲解定义、定理时更应采用这种方法.所谓由具体到抽象的原则是指先举出具体实例，由具体实例得出性质、结论，进而猜想抽象到一般情况是否成立，再利用逻辑推演证明其正确性，若能按照这样的思路来处理每一个问题，势必会使学生感觉到近世代数也不是那么难，也是有例可寻的.在近世代数中一个常被我们做引例而学生又比较熟悉的群就是三元对称群，本文将以有限群论中Sylow定理的探求为例介绍由具体到抽象的原则，再简要介绍这一原则在群的同态定理中的应用方式［1］.

1 Sylow定理的探求

三元对称群S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}.

例1A3={（1），（123），（132）}，A3是S3的正规子群，商群S3/A3={A3，（12）A3}，|S3|=6=3×2，观察发现有关于这三个群的一个命题.

命题1A3是S3的正规子群，则|S3|=|A3|·|S3/A3|

思考:用一般有限群G去替换特殊有限群S3命题是否仍然成立.由此提出如下猜想.

猜想1 若H是G的正规子群，则|G|=|H|·|G||G/H|.

结论是肯定的.由此还可以进一步验证若m|n，|G|=n，G中是否存在阶为m的子群H?这对有限交换群的确是成立的，可用于证明Sylow第一定理.

例2S3的共轭类划分S3=C（1）∪C（12）∪C（123），即为S3的共轭类的不交并，其中

于是|S3|=6=1+3+2，观察发现命题2.

命题2S3的共轭类划分为S3=C（1）∪C（12）∪C（123），则

其中，C（1）是S3的中心，C（12）、C（123）中元素均大于1个.将这个等式抽象到一般有限群G便可得到类方程.

引理1［2］有限群G的中心C的元素个数c0，别的共轭类（如果存在，每类中元素的个数都大于1）设为C1，C2，…，Cm，且|Ci|=ci，i=1，2，…，m，于是有限群G的类方程|G|=c0+c1+…+cm.

注:类方程可应用于证明Sylow第一定理.

例3S3的共轭类划分S3=C（1）∪C（12）∪C（123），进一步考察共轭类中元素的正规化子，得到

由此可得到关于特殊群S3的一个命题.

命题3a∈CaS3，有［S3:N（a）］=|Ga|.

进一步考虑用一般有限群G去替换特殊有限群S3命题是否仍然成立.

猜想2a∈CaG，有［G:N（a）］=|Ca|，其中，G为任一有限群，Ga为元素a的共轭类.

结论当然是肯定的，即为［1］中的引理7.10，结论可用于证明Sylow第一定理.

例4 考察三元对称群S3的子群N（（12））={（1），（12）}=＜（12）＞的共轭子群类

命题4 有限群S3的P（素数）阶子群是相互共轭的.

猜想3 有限群G的P（素数）阶子群是相互共轭的.

经讨论猜想3有肯定的回答，结论可用于证明Sylow第二定理.有了以上的这些理论作为基础，对于Sylow定理的证明便可迎刃而解.

2 群的同态定理的探求

保持运算的同态映射把群G中所有运算关系（指涉及元素和运算的所有等式）都传递给G的同态象.所以保持着G中的某些结构.群G的同态象可以设想为群G的一个“粗略”的模型:忽略了G中某些元素之间差异而又维持G中的运算关系.群的第一同态定理说群G的所有可能的“粗略”模型就是群G的那些商群;群的第二同态定理说明了群与它商群的子群之间的关系.

例5 群（Ζ，+）与群（C12，·）之间存在同态映射 φ:a|→ρaθ，其中C12={ρaθ|θ=，a∈Ζ}={ρaθ|0≤a≤11}，群（G12，·）=Imφ={φ（a）|a∈Ζ}，Kerφ={12t|t∈Ζ}=＜12＞是群 （Ζ，+）的正规子群，我们会发现商群Ζ/Kerφ≌Imφ，其中映射为a+k|→ φ（a）.

由此我们可以抽象出群的第一同态定理.

例6 进一步对于群（Ζ，+）的几个包含＜12＞=Kerφ的子群，有如下关系:＜12＞≤＜6＞≤＜3＞≤＜1＞=Ζ，其相应的象有＜ρ0θ＞≤＜ρ6θ＞≤＜ρ3θ＞≤＜ρθ＞，而且还保持一种正规性，比如:＜ρ3θ＞＜ρθ＞＜3＞＜1＞，并且在这个条件下有关系＜ρθ＞/＜ρ3θ＞≌＜1＞/＜3＞.由此我们可以抽象出群的第二同态定理.

3 结语

总之，由具体到抽象的这一教学方法不仅可以使学生很好的学习近世代数知识，有效培养学生的思维，同时也可以使学生掌握这样一种学习大学数学的通用方法，对他们以后的学习受益匪浅.对于近世代数这门比较抽象的理论课程，其教学方法是值得我们数学工作者进一步研究的.

:

［1］刘绍学.近世代数基础［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［2］杨子胥.近世代数［M］.第2版.北京:高等教育出版社，2003.

［3］张禾瑞.近世代数基础［M］.北京:人民教育出版社，1978.

［4］顾沛.抽象代数教学中的素质教育［J］.大学数学，2006，22（3）:9 －13.

［5］夏静波，邹庭荣，张四兰.近世代数的教学技巧［J］.大学数学，2009，25（1）:5 －8.