Kalman滤波和EM算法对M-to-M信道的参数估计

李新年

（伊犁师范学院 文理系，新疆 奎屯 833200）

Kalman滤波和EM算法对M-to-M信道的参数估计

李新年

（伊犁师范学院 文理系，新疆 奎屯 833200）

本文将在随机微分方程(S D E)建立的M-t o-M状态空间模型基础上，通过对该线性模型进行离散化，然后利用离散K a l m a n滤波对其状态空间进行估计，最后，再利用基于滤波的E M算法对该离散空间模型参数进行估计.

EM算法；Kalman滤波；M-to-M;随机微分方程

1 M-to-M随机状态空间模型

对于M-t o-M信道，有很多种随机形式可用于同相和正交分量所得到的状态空间表达式，具体选择主要取决于实际应用.由此我们将选择更为一般的线性状态空间模型，通常随机状态空间表达式为:

其中：X(t)=[XI(t)TXQ(t)T]T

其中y(t)为信号的观测值，X(t)为可变的同相和正交分量，v(t)为连续时间下的观测噪声.

2 M-to-M信道模型的离散化

下面将利用E M算法和K a l m a n滤波器，通过估计M-t o-M信道模型参数和状态来描述整个过程.下面我们对模型进行离散化[6]:

下标k属于序集{0,1,…},xk∈R2n为离散时间状态限量，yk∈R1为离散时间观测向量，ωk∈R2为离散时间时间状态噪声，vk∈R2为离散时间观测噪声，Ak=Φ(tk+1,tk)，其中Φ(t,t0)为(25)式的基本矩阵，

噪声过程ωk和vk假定为独立零均值和单位方差的高斯过程.

系统参数θk={Ak,Bk,Ck,Dk}和状态是未知的，但可以利用基于滤波的E M算法，从获得的观测信号YN={y1,y2,…,yN}数据估计出来确定参数，再利用K a l m a n滤波器估计出信道状态.

3 信道参数的确定

基于滤波的E M算法通过一组K a l m a n滤波器获得高斯状态空间模型的一个极大似然参数估计(简称M L E),令θk= {Ak,Bk,Ck,Dk}表示(3)中的系统参数，{Pθ：θk∈Θ}表示由系统参

k数θk诱导的一组概率测度，其中Θ为θk所在的参数空间R2n×2n×R2n×2×R2n×R2.E M算法由已知的数据Yk计算系统参数θk的M L估计，E步由所给完全数据来估计对数似然函数的条件期望

其中θk表示在时间k时估计的系统参数，极大化后发现：

求期望和对其进行极大化，一直这样进行下去，模型参数序列收敛到实际参数.E M算法描述如下：

其中E（·）表示期望算子.(6)式为模型(3)中的每一次迭代都给出了E M参数估计，而且，因为)在θk和是连续的，在似然曲面上E M算法收敛到一个驻点，从而参数可以通过条件期望计算出来[6]：

ei为欧几里得空间中的单位向量，例如考虑2 n=2时：

估计得出：

其中T r（·）为矩阵的迹，在(9)式中r(1)i和N(1)i满足下列递归式：

4 结论

系统参数θk={Ak,Bk,Ck,Dk}用E M算法进行估计，即可估计出M-t o-M随机状态空间模型系统参数.由于K a l m a n滤波器和E M算法均可由计算机编程实现，因而接下来工作将通过实验模拟现实场景，通过实验比对来验证K a l m a n滤波器和E M算法对M-t o-M随机状态空间模型系统参数估计，这将是一个非常有意义的工作.

〔1〕G.Casella,R.L.BergerStatisticalInference.2nd Edition(2002).

〔2〕G.Bishop and G.Welch,An introduction to the Kalman filters.University of North Carolina,(2001).

〔3〕J.L.Speyer and W.H.Chung,Stochastic processes, Estimation, and Control, Ralph C. Smith,North Carolina State University,pp.197-201(2008).

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〔6〕A.S.Akki, Statistical properties of mobile-to-mobile land communication channels，IEEE Trans. Veh. Technol.vol.43 no.4,pp.826-831,Nov.(1994).

〔7〕J.L.Speyer and W.H.Chung,Stochastic processes, Estimation,and Control,Ralph C.Smith, North Carolina State University,pp.197-201(2008).

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O 241.8

A

1673-260 X（2012）09-0019-03本文将在随机微分方程(S D E)建立的M-t o-M状态空间模型基础上，通过对该线性模型进行离散化，然后利用离散K a l m a n滤波对其状态空间进行估计，最后，再利用基于滤波的E M算法对该离散空间模型参数进行估计.