五招突破不等式恒成立问题

☉重庆市涪陵第五中学校 艾嵩 李容

不等式恒成立问题中，由于含有参变量，分析问题与解决问题的难度较大，学生难以找到解决问题的思路，本文针对这个问题总结以下几种方法，希望对大家有所帮助.

第一招：变更主元法

例1 若不等式x2+（a-4）x+2（2-a）>0对任意a∈［-1，1］恒成立，求x的取值范围.

分析：本题可以把x看成常数，a为主元，则关于a的不等式 （x-2）a+x2-4x+4>0对任意a∈［-1，1］ 恒成立，借助一次函数的性质可使问题快速获解.

解：令g（a）=x2+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x2-4x+4，则g（a）>0对任意a∈［-1，1］恒成立，由得

g（-1）>0，g（1）>0

｛ ，

故x的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞）.

点评：对于一次函数f（x）＝kx+b，有下列常用结论进行问题转化：

（1）若f（m）>0，f（n）>0，则当x∈［m，n］时恒有f（x）>0.

（2）若f（m）≥0，f（n）≥0，则当x∈［m，n］时恒有f（x）≥0.

第二招：分离变量

例2 当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是.

A.m≤-5 B m>-5 C.m≥-5 D.M≠-5

解：不等式x2+mx+4<0，即mx<-（x2+4），因为x∈（1，2），所以因为x∈（1，2），函数（fx）在（1，2）上递增，于是（fx）>（f1）=-5，故要使恒成立，应有m≤-5.

点评：求解本题通过分类参数，构造新函数，利用函数的单调性，把问题转化为求函数最值问题解决.

第三招：数形结合法

例3 当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是.

解：令f（x）=x2+mx+4，则二次函数f（x）在x∈（1，2）上函数值恒小于零.

故所求m的取值范围是（-∞，-5］.

点评：处理一元二次不等式问题，要把它与二次函数及图像、二次方程紧密联系起来，充分利用数形结合思想来解答.本题还可以采用分类变量法来解答：由m<-x-上恒成立，结合函数）的单调性，求出字母m的取值范围.

第四招：转化化归法

分析：f（x）有意义可以转化为1+2x+a·4x>0对一切x∈（-∞，-1］恒成立问题.

解：当x∈（-∞，-1］时，f（x）有意义，故1+2x+a·4x>0对一切x∈（-∞，-1］恒成立.

点评：对某些问题，巧妙地进行变量代换，经适当整理后可使问题转化为关于某变量的方程形式，此时用方程的思想方法来解，就会达到事半功倍的效果.

第五招：集合思想求解

点评：本题先对不等式进行变形，通过对根的情况进行分类讨论，再结合集合思想与数形结合思想求得参数的范围.