应用导数和积分构造组合数公式

☉北京化工大学附属中学 吴红喜

☉北京市朝阳区教育研究中心 郭 璋

应用导数和积分构造组合数公式

☉北京化工大学附属中学 吴红喜

☉北京市朝阳区教育研究中心 郭 璋

新课标教材中增加了导数和积分两部分内容，这就为我们研究中学数学传统教学内容增加了新的数学工具、新的指导思想和新的数学方法，而且应用导数和积分的思想方法，简单明了，不必应用更多的恒等变形的技能和技巧，有时还可以得到新的结果，一举多得.应用导数和积分构造组合数公式就是其中之一.

一、应用导数探究组合数公式

在二项式定理

我们将上述二项展开式的两边都看成自变量x的函数，利用导数运算，可以得到一组优美的组合数公式.但是直接对（A）式两边求导，因为常数的导数为0，所得公式中没有C0n，不是所有的组合数公式，我们采用下面简单的方法得到的是所有组合数的公式，与我们看到的参考文献《母函数》（史济怀）中的组合数公式相符.

把（A）式两边分别乘以x，得：

继续以上的方法，还可以得到类似的组合数公式，在此不一一赘述.

二、应用积分探究组合数公式

对（A）式两边分别取定积分，当下限为x，上限为0时，令x=－1，得：

我们应用导数与积分得到以上14个优美的组合数公式，应用适当的恒等变形还可以得到更多更优美的组合数公式.请读者探究.

1．史济怀.母函数［M］.上海：上海教育出版社，1981.

2.刘绍学，主编.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4［M］.北京：人民教育出版社，2005.