☉北京化工大学附属中学 吴红喜
☉北京市朝阳区教育研究中心 郭 璋
应用导数和积分构造组合数公式
☉北京化工大学附属中学 吴红喜
☉北京市朝阳区教育研究中心 郭 璋
新课标教材中增加了导数和积分两部分内容,这就为我们研究中学数学传统教学内容增加了新的数学工具、新的指导思想和新的数学方法,而且应用导数和积分的思想方法,简单明了,不必应用更多的恒等变形的技能和技巧,有时还可以得到新的结果,一举多得.应用导数和积分构造组合数公式就是其中之一.
在二项式定理
我们将上述二项展开式的两边都看成自变量x的函数,利用导数运算,可以得到一组优美的组合数公式.但是直接对(A)式两边求导,因为常数的导数为0,所得公式中没有C0n,不是所有的组合数公式,我们采用下面简单的方法得到的是所有组合数的公式,与我们看到的参考文献《母函数》(史济怀)中的组合数公式相符.
把(A)式两边分别乘以x,得:
继续以上的方法,还可以得到类似的组合数公式,在此不一一赘述.
对(A)式两边分别取定积分,当下限为x,上限为0时,令x=-1,得:
我们应用导数与积分得到以上14个优美的组合数公式,应用适当的恒等变形还可以得到更多更优美的组合数公式.请读者探究.
1.史济怀.母函数[M].上海:上海教育出版社,1981.
2.刘绍学,主编.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4[M].北京:人民教育出版社,2005.